第3讲 排序不等式
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课件35张PPT。三 排序不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标
1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.
2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.
3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 排序不等式思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案.
(2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多；
5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少.思考2 如图，∠POQ＝60°，比较 与
的大小.答案 梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念
设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列.
①乱序和： .
②反序和： .
③顺序和： .S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancnS1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(2)排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则 ≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和.a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn题型探究类型一 利用排序不等式证明不等式命题角度1 字母已定序问题证明又顺序和不小于乱序和，故可得∴原不等式成立.反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.证明证明 因为0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c，又0＜a2≤b2≤c2，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，命题角度2 字母大小顺序不定问题证明证明 由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，由顺序和≥乱序和得到两个不等式：两式相加，得反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据.跟踪训练2 设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：证明 不妨设0＜a≤b≤c，所以由排序不等式可得证明类型二 利用排序不等式求最值解答解 由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
则a＋b≥a＋c≥b＋c，由排序不等式，得反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值.解答达标检测1.设a，b，c均为正数，且P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是
A.P＞Q B.P≥Q C.P＜Q D.P≤Q1234解析 不妨设a≥b≥c＞0，
则a2≥b2≥c2＞0.
由排序不等式，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以P≥Q.解析答案√2.已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11.将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是
A.324 B.314
C.304 D.212答案√1234解析 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5
＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.解析3.n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为____.1234n解析答案解析 设0＜a1≤a2≤a3≤…≤an，则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和.
故最小值为反序和1234证明证明 由题意不妨设a≥b＞0.1.对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.
2.排序不等式的本质
两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.3.排序不等式取等号的条件
等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝b3＝…＝bn.
4.排序原理的思想
在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.本课结束
1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.
2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.
3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 排序不等式思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案.
(2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多；
5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少.思考2 如图，∠POQ＝60°，比较 与
的大小.答案 梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念
设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列.
①乱序和： .
②反序和： .
③顺序和： .S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancnS1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(2)排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则 ≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和.a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn题型探究类型一 利用排序不等式证明不等式命题角度1 字母已定序问题证明又顺序和不小于乱序和，故可得∴原不等式成立.反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.证明证明 因为0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c，又0＜a2≤b2≤c2，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，命题角度2 字母大小顺序不定问题证明证明 由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，由顺序和≥乱序和得到两个不等式：两式相加，得反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据.跟踪训练2 设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：证明 不妨设0＜a≤b≤c，所以由排序不等式可得证明类型二 利用排序不等式求最值解答解 由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
则a＋b≥a＋c≥b＋c，由排序不等式，得反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值.解答达标检测1.设a，b，c均为正数，且P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是
A.P＞Q B.P≥Q C.P＜Q D.P≤Q1234解析 不妨设a≥b≥c＞0，
则a2≥b2≥c2＞0.
由排序不等式，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以P≥Q.解析答案√2.已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11.将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是
A.324 B.314
C.304 D.212答案√1234解析 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5
＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.解析3.n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为____.1234n解析答案解析 设0＜a1≤a2≤a3≤…≤an，则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和.
故最小值为反序和1234证明证明 由题意不妨设a≥b＞0.1.对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.
2.排序不等式的本质
两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.3.排序不等式取等号的条件
等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝b3＝…＝bn.
4.排序原理的思想
在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.本课结束