第3讲 柯西不等式与排序不等式复习课

课件33张PPT。复习课第三讲　柯西不等式与排序不等式学习目标
1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.
2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.
3.理解排序不等式及应用.
4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.二维形式的柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式：_______________________________________
_________.
(2)柯西不等式的向量形式：_______________________________________
______________________________________________.
(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么
______________________________________.若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立2.一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则_______________
_______________________________________.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立.
3.排序不等式
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤__________________
≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.a1c1＋a2c2＋…＋ancn题型探究类型一　利用柯西不等式证明不等式证明证明　由柯西不等式知，又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立.反思与感悟　利用柯西不等式证题的技巧(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会.证明类型二　利用排序不等式证明不等式证明　不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)证明引申探究证明　不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC).证明反思与感悟　利用排序不等式证明不等式的策略
(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.
(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷.证明证明　由a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c，由排序不等式，得再次由排序不等式，得类型三　利用柯西不等式或排序不等式求最值例3　(1)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值.解　由柯西不等式，得
(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]
≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，解答解答解　设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，
且b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
因此b1≥1，b2≥2，b3≥3，b4≥4，b5≥5.由排序不等式，得反思与感悟　利用柯西或排序不等式求最值的技巧
(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略.解答达标检测1234解析答案√＝3×3＝9.
∴y≤3，y的最大值为3.2.已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最大值是
A.1 B.2 C.3 D.4解析答案√1234即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.
∴5－a2≥(3－a)2.
解得1≤a≤2.
验证：当a＝2时，等号成立.3.已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为√解析　由柯西不等式得
(22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2，1234解析答案1234证明证明　不妨设a≥b≥c＞0，1.对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式.
2.参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想.
3.对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列.4.数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系.本课结束