第4讲 1 数学归纳法
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课件35张PPT。一 数学归纳法第四讲 用数学归纳法证明不等式学习目标
1.了解数学归纳法的基本原理.
2.了解数学归纳法的应用范围.
3.会用数学归纳法证明一些简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下.
思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 ①第一辆自行车倒下；
②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.思考2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案 适合解决一些与正整数n有关的问题.梳理 数学归纳法的概念及步骤
(1)数学归纳法的定义
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当 时命题成立；
②假设当 时命题成立，证明 时命题也成立.
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.n＝n0n＝k＋1n＝k(k∈N＋，且k≥n0)(2)数学归纳法适用范围
数学归纳法的适用范围仅限于与 有关的数学命题的证明.
(3)数学归纳法的基本过程正整数题型探究类型一 用数学归纳法证明等式(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)可知，原等式对n∈N＋均成立.证明反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设.证明(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2所以当n＝k＋1时等式也成立.
由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.类型二 证明与整除有关的问题例2 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除.证明证明 (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除.
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2
＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2).
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除.
即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除.
由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立.反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.跟踪训练2 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋).证明证明 (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，
所以结论成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.
则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，
即当n＝k＋1时结论也成立.
由(1)(2)知，命题对一切n∈N＋成立.类型三 用数学归纳法证明几何命题例3 有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋).证明证明 (1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，
且f(1)＝1－1＋2＝2，
所以n＝1时命题成立.
(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分.
则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，
故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立.
综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立.反思与感悟 (1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可.
(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明.证明证明 (1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，∴n＝1时命题成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，第k＋1条直线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，
因此增加了k＋1个区域，∴当n＝k＋1时命题也成立.
由(1)(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立.达标检测1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为
A.1 B.2 C.3 D.41234解析 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.解析答案√2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为
A.1 B.1＋a＋a2
C.1＋a D.1＋a＋a2＋a3答案√1234解析 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.解析3.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________________________________________________
____________.1234答案解析 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.解析81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)12344.用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以当n＝k＋1时等式成立.
由(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.证明1.应用数学归纳法时应注意的问题
(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3.
(2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
(3)“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.规律与方法2.判断利用数学归纳法证明问题是否正确.
(1)是要看有无归纳基础.
(2)是证明当n＝k＋1时是否应用了归纳假设.
3.与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明.其中关键问题是从当n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立.本课结束
1.了解数学归纳法的基本原理.
2.了解数学归纳法的应用范围.
3.会用数学归纳法证明一些简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下.
思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 ①第一辆自行车倒下；
②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.思考2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案 适合解决一些与正整数n有关的问题.梳理 数学归纳法的概念及步骤
(1)数学归纳法的定义
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当 时命题成立；
②假设当 时命题成立，证明 时命题也成立.
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.n＝n0n＝k＋1n＝k(k∈N＋，且k≥n0)(2)数学归纳法适用范围
数学归纳法的适用范围仅限于与 有关的数学命题的证明.
(3)数学归纳法的基本过程正整数题型探究类型一 用数学归纳法证明等式(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)可知，原等式对n∈N＋均成立.证明反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设.证明(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2所以当n＝k＋1时等式也成立.
由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.类型二 证明与整除有关的问题例2 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除.证明证明 (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除.
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2
＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2).
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除.
即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除.
由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立.反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.跟踪训练2 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋).证明证明 (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，
所以结论成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.
则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，
即当n＝k＋1时结论也成立.
由(1)(2)知，命题对一切n∈N＋成立.类型三 用数学归纳法证明几何命题例3 有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋).证明证明 (1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，
且f(1)＝1－1＋2＝2，
所以n＝1时命题成立.
(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分.
则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，
故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立.
综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立.反思与感悟 (1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可.
(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明.证明证明 (1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，∴n＝1时命题成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，第k＋1条直线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，
因此增加了k＋1个区域，∴当n＝k＋1时命题也成立.
由(1)(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立.达标检测1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为
A.1 B.2 C.3 D.41234解析 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.解析答案√2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为
A.1 B.1＋a＋a2
C.1＋a D.1＋a＋a2＋a3答案√1234解析 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.解析3.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________________________________________________
____________.1234答案解析 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.解析81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)12344.用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以当n＝k＋1时等式成立.
由(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.证明1.应用数学归纳法时应注意的问题
(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3.
(2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
(3)“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.规律与方法2.判断利用数学归纳法证明问题是否正确.
(1)是要看有无归纳基础.
(2)是证明当n＝k＋1时是否应用了归纳假设.
3.与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明.其中关键问题是从当n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立.本课结束