第4讲 2 用数学归纳法证明不等式

课件31张PPT。二　用数学归纳法证明不等式第四讲　用数学归纳法证明不等式学习目标
1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.
2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.
3.体会归纳—猜想—证明的思想方法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　用数学归纳法证明不等式思考1　用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？答案　(1)归纳奠基：验证初始值n＝n0.
(2)归纳递推：在假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立.思考2　证明不等式与证明等式有什么不同？答案　证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”.梳理　(1)利用数学归纳法证明不等式
在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、 等结合进行.
(2)贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则有 .比较法分析法综合法放缩法(1＋x)n＞1＋nx(3)贝努利不等式的推广
事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数α时，
仍有类似不等式成立.
①当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；
②当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1).题型探究类型一　数学归纳法与放缩法结合证明不等式证明(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，命题成立，即当n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N＋，n≥2都成立.反思与感悟　在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一.左边＜右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N＋)时，不等式成立，则当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，不等式成立.由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.证明类型二　利用数学归纳法证明数列不等式当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.解答证明证明　①当n＝1时，②假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立.反思与感悟　(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础.
(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明.证明当n＝k＋1时，达标检测1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证
A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝41234解析　由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.解析答案√1234解析答案√1234解析　当n＝k＋1时，目标不等式为解析答案1234解答1234又a∈N＋，∴正整数a的最大值为25.(1)当n＝1时，不等式显然成立.1234当n＝k＋1时，有1234即n＝k＋1时不等式也成立.数学归纳法证明不等式的技巧
(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.
(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程.本课结束