第4讲 柯西不等式与排序不等式复习课

课件44张PPT。复习课第四讲　用数学归纳法证明不等式学习目标
1.梳理数学归纳法的思想方法，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式.
2.熟练掌握用数学归纳法证明不等式、等式等问题的证明步骤.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.数学归纳法是用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法.
2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n＝n0时命题成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.完成以上两个步骤，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.3.在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推，递推是实现从有限到无限飞跃的关键.
4.用数学归纳法证明不等式，关键是在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的条件下，推出当n＝k＋1时命题成立这一步，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要用到分析法，综合法，放缩法等相关知识和方法.题型探究类型一　归纳—猜想—证明例1　已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋).
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，解答证明(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式.证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立.
②假设当n＝k时成立，
即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N＋)，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2故当n＝k＋1时公式也成立.
由①②可知，对n≥2，n∈N＋有an＝5×2n－2.反思与感悟　利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明.即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明.跟踪训练1　设f(n)＞0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，又f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值；解　由于对任意自然数n1和n2，
总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2).
取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.
∵f(n)＞0(n∈N＋)，
∴f(1)＝2.
取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.解答(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想.解　由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，
猜想f(n)＝2n.
证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立.
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝2k成立.
当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立.
由①②知猜想正确，即f(n)＝2n，n∈N＋.解答类型二　用数学归纳法证明等式或不等式命题角度1　用数学归纳法证明等式(以三角函数为背景)证明证明　(1)当n＝2时，
左边＝tan α·tan 2α，＝tan α·tan 2α，等式成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，当n＝k＋1时，
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α所以当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)和(2)知，当n≥2，n∈N＋时等式恒成立.反思与感悟　归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用广泛.用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的起始正确性，是归纳的基础；(2)推证命题正确的可传递性，是递推的依据.两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征.证明证明　(1)当n＝1时，左边＝2cos x－1，即左边＝右边，∴命题成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，当n＝k＋1时，
左边＝(2cos x－1)(2cos 2x－1)…·(2cos 2k－1x－1)·(2cos 2kx－1)∴当n＝k＋1时命题成立.
由(1)(2)可知，当n∈N＋时命题成立.命题角度2　用数学归纳法证明不等式证明(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，结论成立.反思与感悟　用数学归纳法证明不等式，除了注意数学归纳法规范的格式外，还要注意灵活利用问题的其他条件及相关知识.证明证明　(1)当n＝2时，(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.类型三　用数学归纳法证明整除问题例4　用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除.证明　(1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除.
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1).
因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，
所以2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，
即当n＝k＋1时命题成立.
由(1)和(2)知，对任意n∈N＋原命题成立.证明反思与感悟　用数学归纳法证明整除问题的关键点
(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证.
(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.跟踪训练4　设x∈N＋，n∈N＋，
求证：xn＋2＋(x＋1)2n＋1能被x2＋x＋1整除.证明证明　(1)当n＝1时，x3＋(x＋1)3＝[x＋(x＋1)]·[x2－x(x＋1)＋(x＋1)2]＝(2x＋1)(x2＋x＋1)，结论成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，
即xk＋2＋(x＋1)2k＋1能被x2＋x＋1整除，
那么当n＝k＋1时，
x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1
＝x·xk＋2＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1
＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1－x(x＋1)2k＋1
＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x2＋x＋1)·(x＋1)2k＋1.由假设知，xk＋2＋(x＋1)2k＋1及x2＋x＋1均能被x2＋x＋1整除，
故x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1能被x2＋x＋1整除，
即当n＝k＋1时，结论也成立.
由(1)(2)知，原结论成立.达标检测1234答案证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；A.从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设 B.归纳假设的写法不正确
C.从k到k＋1的推理不严密 D.当n＝1时，验证过程不具体√2.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是
A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D.若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析答案√1234解析　对于D，∵f(4)＝25≥42，
∴当k≥4时，均有f(k)≥k2.(k2＋1)＋…＋(k＋1)2解析　当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.
所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.1234解析答案1234证明所以a0＜a1＜2，命题正确.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即ak－1＜ak＜2.
则当n＝k＋1时，1234而ak－1－ak＜0,4－ak－1－ak＞0，所以ak－ak＋1＜0.1234所以当n＝k＋1时命题正确.
由(1)(2)可知，对一切n∈N，有an＜an＋1＜2.1.在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把归纳假设“n＝k”时的命题作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，弄错项数发生的变化是常见错误.
2.用数学归纳法证明的问题通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式或不等式是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、归纳，猜想出一个等式或不等式，然后再用数学归纳法证明.规律与方法3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及数列有关的命题是考查的重点，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查分析问题、解决问题的能力.本课结束