华师大版九年级数学下册全册教案

第26章　二次函数
26．1　二次函数
教学目标
?知识与技能
1．掌握二次函数的概念，能够依据实际情况建立二次函数关系式．
2．正确理解y＝ax2＋bx＋c中a≠0的作用与要求，初步体会二次函数与一次函数、反比例函数的区别．
?过程与方法
通过具体实例中变量关系的特征，感受二次函数的特征和意义，初步认识二次函数．
?情感、态度与价值观
1．体会数学与人们生活的联系．
2．在探究二次函数学习活动中，体会通过探究得到发现的乐趣．
重点难点
?重点
二次函数的概念．
?难点
寻找、发现实际生活中的二次函数问题，理解变量之间的对应关系．
教学过程
一、自学导纲
1．回顾
(1)一元二次方程一般形式是什么？
(2)什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？
2．解答下列问题
(1)圆的半径是r(cm)，它的面积S(cm2)是多少？
(2)已知正方体的棱长为xcm，表面积为ycm2，则y与x的关系是________．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？
二、合作互动
1．探究
例1　已知函数y＝(m－2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求m的值．
分析：由已知得m2＋m－4＝2，且m－2≠0，由此可求出m的值．
解答：由已知得解m2＋m－4＝2得m1＝－3，m2＝2，又m－2≠0，所以m≠2.故m＝－3.
总结反思：此题根据二次函数定义中最高次项的次数为2次，且其系数不为0的规定列出方程和不等式，从而求出的值．
例2　正方形的边长为3，若它的边长增加x，则它的面积增加y，试列出y与x之间的关系式．
分析：利用正方形的面积公式分别求出边长为3和3＋x的正方形面积，增加的面积y等于大正方形的面积减去小正方形的面积，化简可得y与x之间的函数关系式．
解答：y＝(3＋x)2－32＝x2＋6x(x≥0)
例3　当m为何值时，关于x的函数y＝(m＋1)xm2－m＋2x＋1是二次函数？
分析：若y＝(m＋1)xm2－m＋2x＋1是二次函数，必须满足的条件是m2－m＝2，且m＋1≠0.
解答：由题意，得m2－m＝2，且m＋1≠0.解得m＝2.∴m＝2时，函数是二次函数．
例4　写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
(1)写出正方形的面积S(cm2)与正方形边长a(cm)之间的函数关系；
(2)菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
说明：学生独立完成．
2．归纳
二次函数的定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
问题：(1)二次函数定义中a、b、c有怎样的要求？
(2)当a＝0时，这个函数还是二次函数吗？为什么？
(3)b或c能为0吗？
说明：教师引导学生尝试归纳总结出二次函数的定义．对提出的问题要适时引导，可利用上面三个函数关系式，让学生指出常数a、b、c各是多少？强调a≠0，以加深对概念的理解．
3．练习
下列函数中，哪些是二次函数？
①y＝3x－1；②y＝3x2＋2；③y＝3x4＋2x2；④y＝x2；⑤y＝x2－x(1＋x)；⑥y＝x－2＋x.
三、反馈训练
基础练习：
1．(回答)下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝5x＋1；(2)y＝4x2－1；(3)y＝2x3－3x2；(4)y＝5x4－3x＋1.
2．y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c为常数)为二次函数的条件是(　　)
A．b≠0
B．c≠0
C．a≠0，b≠0，c≠0
D．a≠0
拓展练习
1．当k为何值时，函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数？
2．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
3．圆的半径是1cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加y cm2.
(1)写出y与x之间的函数关系表达式；
(2)当圆的半径分别增加1cm、2cm时，圆的面积增加多少？
四、导学归纳
1．通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？
2．二次函数的一般形式是什么？特殊形式有哪些？一个函数是不是二次函数关键看什么？
五、作业
1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y＝3x4＋x2＋1；(2)y＝＋x＋1；
(3)y＝3x2＋4x；(4)y＝x2＋x＋；
(5)y＝(x＋3)2－x2；(6)y＝3(x－1)2－1.
2．如果函数y＝xk2－3k＋2＋kx＋1是二次函数，则k的值一定是________．
3．m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？
课后反思：
教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识．
26．2　二次函数的图象与性质
26．2.1　二次函数y＝ax2的图象与性质
教学目标
?知识与技能
1．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，知道抛物线的有关概念.
2．掌握二次函数y＝ax2的图象和性质．
?过程与方法
通过数形结合进一步理解二次函数的性质．
?情感、态度与价值观
1．在画图、观察、比较等探究活动中，形成良好的思维习惯和学习方法．
2．在探究二次函数y＝ax2的性质活动中，体会通过探究得到发现问题的乐趣．
重点难点
?重点
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和由图象概括二次函数y＝ax2的性质．
?难点
二次函数y＝ax2性质的应用．
教学过程
一、自学导纲
1．前面我们研究了一些具体的函数，根据你的经验，学习了二次函数的概念后，接着要研究什么问题？
2．想一想，一次函数的性质是怎样研究的？
(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．)
3．我们能否类比一次函数性质来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？
(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)
4．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？
(由此引出课题．)
二、合作互动
问题1：画二次函数y＝ax2的图象
请用描点法画出y＝x2的图象(学生画出)．
说明和建议：
1．在画图象前，可以指导学生复习描点法画函数图象的方法．
2．观察y＝x2的自变量x的取值范围．引导学生回忆前面学过的内容，列表时如何合理选值？以什么数为中心？
3．列表时应注意描点的方便，可告诉学生x取整数，可以以1为间距取值．
4．列表时应注意到x取相反数时，y的值相同，这样列表就可简捷一些，连线前要观察所描的点位置，它们不在一条直线上，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或按自变量从大到小的顺序连接．
5．要引导学生讨论这样画出的y＝x2的图象是实际图象的一部分，还是它的全部？所画函数图象是准确的，还是近似的？
6．在学生画完的基础上，教师板演画函数y＝ax2的图象．
(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图所示．
问题2：请观察y＝x2的图象，它有什么特点？
说明和建议：
1．这个问题具有开放性，不同层次的学生可总结概括出不同的结论．
2．让学生观察、思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点．
教师在学生发言的基础上，借助上面所画的图象，指出有关概念：抛物线及这个函数图象的对称轴、开口方向、顶点坐标等．
归纳：二次函数y＝x2的图象是一条曲线，这条曲线叫抛物线，它的开口向上，对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点，抛物线y＝x2的顶点是原点．
问题3：(1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？
(2)在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？
(3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？
说明与建议：
对于(1)，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点．两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论、交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y＝x2的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下．
对于(2)，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点教师可引导学生类比(1)得出．
对于(3)，教师可引导学生从(1)的共同点和(2)的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它们的顶点坐标都是(0，0)．
在学生完成、交流的基础上，教师展示图象并归纳．
函数y＝ax2的图象是一条________，它关于________对称，它的顶点坐标是________．
思考：如果要更细致地研究函数y＝ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么？
让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空：
当a＞0时，抛物线y＝ax2开口________．在对称轴的左边，曲线自左向右________；在对称轴的右边，曲线自左向右________．________是抛物线上位置最低的点．
问题4：观察图象，y随x的变化如何变化？
说明与建议：
1．可让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空：
当x＜0时，函数值y随着x的增大而________，当x＞0时，函数值y随x的增大而________；当x＝________时，函数值y＝ax2(a＞0)取得最小值，最小值y＝________．
以上结论就是当a＞0时，函数y＝ax2的性质．
思考以下问题：
观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？
让学生思考、讨论、交流，达成共识，当a＜0时，抛物线y＝ax2开口向下．在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．顶点是抛物线上位置最高的点．图象的这些特点，反映了当a＜0时，函数y＝ax2的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0.
例　在同一坐标系中，二次函数y＝3x2，y＝x2，y＝－4x2的图象的共同点是(　　)
A．关于y轴对称，开口方向向上
B．关于y轴对称，顶点坐标为(0，0)
C．关于y轴对称，最高点都是原点
D．关于y轴对称，x＜0时，y随x的增大而减小
分析：二次函数y＝ax2，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，故A错误；开口向上时有最低点，开口向下时，有最高点，故C错误；当a＜0，x＜0时，y随x的增大而增大．故D错误．
解答：选B
三、反馈训练
基础练习
1．二次函数y＝πx2的顶点坐标是____________，对称轴是________，图象在x轴的________(顶点除外)，开口向________，当x________时，y随x的增大而减小，当x________时，y随x的增大而增大．
2．观察函数y＝x2的图象，则下列判断中正确的是(　　)
A．若a，b互为相反数，则x＝a与x＝b的函数值相等
B．对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应
C．对于一个实数y，有两个x和它对应
D．对任意实数x，都有y＞0
3．在函数y＝ax2中，当a＜0时，设自变量x1、x2的对应值分别为y1，y2，当x1＞x2＞0时，必有y1＜y2吗？为什么？
拓展练习
4．已知函数y＝(k2＋k)xk2－2k－1是二次函数，它的图象开口________，当x________时，y随x的增大而增大．
5．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象．
四、导学归纳
本节课你学到了什么，还有什么困惑？
引导学生从二次函数y＝ax2的图象形状、画法、对称轴、顶点、开口方向和增减性总结．
五、作业
1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．
2．课下思考：
(1)已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，则k＝________．
(2)已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2.
①求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
②根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的周长；
③根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．
26．2.2　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第1课时　二次函数y＝ax2＋k的图象与性质教学目标
?知识与技能
1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋k的图象.
2．理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．
3．体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法．
?过程与方法
先画出y＝ax2＋k与y＝ax2的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律．
?情感、态度与价值观
1．结合探究函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象平移规律的过程继续渗透数形结合思想方法．
2．在探究二次函数y＝ax2＋k性质的过程中，成就学生的成就感，进一步增强学生学习的自信心．
重点难点
?重点
二次函数y＝ax2＋k的图象和性质．
?难点
理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．
教学过程
一、自学导纲
1．二次函数y＝2x2的图象是__________，它的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，在对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________，当x＝________时，取最________值，其最________值是________．
2．二次函数y＝x2＋1的图象与二次函数y＝x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
二、合作互动
例　在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象，并指出它们的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，说出三个函数图象的异同点．
解答：用描点法可以作出三个函数的图象，如图所示，y＝x2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点(0，0)；y＝x2＋2的图象的开口向上，对称轴为y轴、顶点为点(0，2)；y＝x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点为点(0，－2)．从三个函数的图象可以看出，它们的开口方向、形状大小、对称轴相同，只是顶点的位置不同．
总结反思：二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k的图象的对称轴相同，开口大小相同，开口方向相同，形状相同，顶点的位置不同．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2向上或向下平移得到．
探究1　二次函数y＝ax2＋k的图象
(1)对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？
(画出函数y＝x2＋1和函数y＝x2的图象，并加以比较．)
(2)请你在同一坐标系中画出函数y＝x2＋1和函数y＝x2的图象
说明：①让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图象．
②教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝x2＋1的图象．
③教师写出解题过程，与学生所画图象进行比较．
(3)当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
说明：①教师引导学生观察画函数图象时所列的表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系？由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝x2＋1的函数值都比函数y＝x2的函数值大1.
②教师引导学生观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，研究一些特殊点的位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝x2＋1的图象上的点都由函数y＝x2的图象上的相应点向上移动了一个单位．
(4)观察函数y＝x2＋1和y＝x2的图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y＝x2＋1和y＝x2的图象之间的关系吗？
归纳：①相同点：开口方向相同，对称轴相同；不同点：顶点坐标位置不同．
②y＝x2＋1的图象和y＝x2的图象形状相同，开口方向相同，y＝x2＋1的图象可以由y＝x2的图象向上平移1个单位得到．
探究2　根据上面讨论，你能由y＝x2的性质得到y＝x2＋1的性质吗？
说明：让学生用类比的方法得到性质，可从对称轴左右两侧考虑．可让学生完成下列填空：当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x________时，函数取得最________值，最________值y＝________．
以上就是函数y＝x2＋1的性质
探究3　你能说出y＝－x2＋1的图象与性质吗？
说明：小组合作交流，得出结论，并发言回答．最后教师归纳．
y＝－x2＋1的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最大值．
思考：根据上面的讨论，你能得出二次函数y＝ax2＋k的图象与性质吗？
归纳：二次函数y＝ax2＋k的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)．当a＞0时，它的开口向上；x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y取最小值，最小值为k.当a＜0时，它的开口向下；x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y取最大值，最大值为k.
三、反馈训练
在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2＋1与y＝－x2－1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2＋1得到抛物线y＝－x2－1.
四、导学归纳
1．通过本节学习，你有哪些收获？
2．你对本节课有什么疑惑？
五、作业
必做题
1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．
2．函数y＝－2x2＋5，当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x＝________时，函数值y取最________值________．
选做题
3．试说出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象所具有的共同性质．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的联系与区别．
第2课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
教学目标
?知识与技能
1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2．理解抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系．
3．体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法．
?过程与方法
先画出y＝ax2＋k与y＝ax2的图象，然后综合对比观察图象，再归纳整理得出抛物线形状、位置规律．
?情感、态度与价值观
1．结合探究函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象平移规律的过程继续渗透着数形结合思想方法．
2．在探究二次函数y＝a(x－h)2性质的过程中，造就学生的成就感，进一步培养学生学习数学的兴趣和增强学生学习的自信心．
重点难点
?重点
二次函数y＝a(x－h)2图象和性质．
?难点
把抛物线y＝ax2通过平移后得到y＝a(x－h)2时，确定平移的方向和距离．
教学过程
一、自学导纲
1．已知y＝－x2，y＝－x2－1，回答：
(1)两条抛物线的位置关系；
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标；
(3)说出它们所具有的公共性质．
2．二次函数y＝(x－2)2的图象是怎样的一条抛物线，它与二次函数y＝x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？
二、合作互动
1．思考：你将用什么方法来研究上面提出的问题2?
(画出二次函数y＝(x－2)2和二次函数y＝x2的图象，并加以观察．)
2．画图：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝(x－2)2和二次函数y＝x2的图象．
说明：(1)学生完成表格.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
y＝(x－2)2
　　(2)画出图象．
(3)解决情景引入第2题．
①教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝x2
y＝(x－2)2
②让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝(x－2)2与y＝x2的图象开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝(x－2)2的图象可以看作是函数y＝x2的图象向右平移2个单位得到的，它的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)．
3．探究
例　已知二次函数y＝(x＋b)2，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
1
2
3
4
5
6
…
y
…
4
1
0
1
4
9
…
(1)求b的值及该二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，y取最小值？最小值是多少？
(3)若点A(m，y1)，B(m＋1，y2)都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．
解答：(1)把x＝3，y＝0代入关系式，0＝(3＋b)2，解得b＝－3，所以该函数为y＝(x－3)2.
(2)当x＝3时，y取最小值，最小值为0.
(3)当m＜2.5时，y1＞y2；当m＝2.5时y1＝y2；当m＞2.5时，y1＜y2.
4．探讨：(1)你可以由函数y＝x2的性质，得到函数y＝(x－2)2的性质吗？
①教师引导学生回顾二次函数y＝x2的性质，并观察二次函数y＝(x－2)2的图象；
②让学生完成以下填空：
当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的增大而增大；当x＝________时，函数取得最________值y＝________．
(2)在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2的图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？y＝－(x＋2)2有哪些性质？
4．总结：二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质．
一般规律
①y＝a(x－h)2的图象特点如下表：
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞0
向上
a＜0
向下
x＝h
(h，0)
②性质：若a＞0，当x＜h时，函数值y随x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函数取得最小值，最小值y＝0.
若a＜0，当x＜h时，函数值y随x的增大而增大；当x＞h时，函数值y随x的增大而减小；当x＝h时，函数取得最大值，最大值y＝0.
③y＝a(x－h)2平移规律：当h＞0时，将抛物线y＝ax2向右平移h个单位；当h＜0时，将抛物线y＝ax2向左平移|h|个单位．
三、反馈训练
1．基础练习
抛物线y＝(x－1)2的开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它可以看作是由抛物线y＝x2向________平移________个单位得到的．
2．拓展练习
(1)怎样平移函数y＝－(x－2)2的图象，就可得到函数y＝－(x＋5)2的图象？
(2)将抛物线y＝ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为－2，且新抛物线经过点(1，3)，求a的值．
四、导学归纳
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别？
2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗？
3．谈谈本节课的收获和体会．
五、作业
1．不画出图象，请你说明抛物线y＝5x2与y＝5(x－4)2之间的关系．
2．已知函数y＝－x2，y＝－(x＋2)2和y＝－(x－2)2.
(1)在同一直角坐标系中画出它们的函数图象；
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y＝－x2的图象得到函数y＝－(x＋2)2和函数y＝－(x－2)2的图象？
(4)分别说出各个函数的性质．
选做题
3．试说出二次函数y＝x2＋2x＋1图象的对称轴、顶点坐标、开口方向，最大(或最小)值；当x取什么值时，y随x增大而增大．
(提示：将y＝x2＋2x＋1化为y＝(x＋1)2后求．)
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．

第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
教学目标
?知识与技能
会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过图象认识函数的性质．
?过程与方法
先由y＝a(x－h)2＋k型的五个特例入手，再推广到一般，归纳出结论．
?情感、态度与价值观
结合函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象平移规律的探究过程，继续渗透数形结合的方法．
重点难点
?重点
二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
?难点
二次函数y＝a(x－h)2＋k图象与y＝ax2图象之间的关系．
教学过程
一、自学导纲
我们学习了形如y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2的函数，知道了它们可以经过相互平移得到．二次函数y＝a(x－h)2＋k又是怎样的一条抛物线呢？它与这三条抛物线之间有什么关系？
二、合作互动
1．探究
例　已知函数y＝2(x－3)2－8.
(1)写出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标；
(2)求出图象与x轴的交点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小；
(4)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最大(小)值；
(5)函数图象可由y＝2x2的图象经过怎样的平移得到．
分析：本题综合考查函数y＝a(x－h)2＋k的图象及性质，特别注意图象与x轴的交点坐标即要求出y＝0时的x的值，则需解一元二次方程求得．
解答：(1)∵a＝2＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，－8)．
(2)令y＝0，即2(x－3)2－8＝0，
整理，得x2－6x＋5＝0，
解得x1＝1，x2＝5.
故图象与x轴交于(1，0)，(5，0)．
(3)当x＞3时y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小．
(4)当x＝3时，y有最小值，最小值是－8.
(5)函数图象可由y＝2x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移8个单位得到．
总结反思：综合运用函数y＝a(x－h)2＋k的图象特点及性质求解，熟记这些基础知识是解题关键．
在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2＋1，y＝(x－2)2＋1的图象，并写出它们的开口方向、对称轴及顶点．
说明：在画图时，可引导学生注意以下问题：
①列表时，要合理选值，选值时先考虑对称性质，其次尽量选整数，方便计算、描点．前两个函数的对称轴是y轴，选值以x＝0为中心．第三个函数的对称轴尚不清楚，可对照y＝a(x－h)2，作出初步的判断．计算y值，只要计算对称轴一侧的值，另一侧由对称性直接填空．另外，注意观察三个函数解析式的特点，后两个函数值的计算，可以利用第一个函数的运算结果．
②描点时，一般可先定顶点，然后利用对称性，描出各对称点．
③连线时，特别要注意顶点附近的大致趋向，最后画得抛物线应平滑、对称、并且符合抛物线的特点．
④让学生完成下列填空：它们的开口方向都向________，对称轴分别为________、________、________，顶点坐标分别为________、________、________．
观察归纳：观察上面所画函数的图象并进行比较，你认为函数y＝(x－2)2＋1的图象有何特点？
说明：让学生充分表达自己的见解．在这个基础上，再设问：①函数y＝x2＋1的图象与函数y＝x2的图象两者之间有什么关系？(形状相同，位置不同)②函数y＝(x－2)2与y＝x2＋1之间有什么关系？
最后让学生归纳得y＝(x－2)2＋1图象特点：开口向上，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)，顶点是图象的最低点．
(3)函数y＝(x－2)2＋1有哪些性质？
说明：学生类比y＝x2的性质得出．
当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＝2时，y取最小值1.
2．归纳：根据上面的讨论，请你用类比的方法归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质．
说明：教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识．
(1)图象：可让学生完成教材第16页练习第3题．
(2)性质：若a＞0，当x＜h时，函数值y随x的增大而减小，当x＞h时，函数值y随x的增大而增大，当x＝h时，y取最小值k；若a＜0，当x＜h时，函数值y随x的增大而增大，当x＞h时，函数值y随x的增大而减小．当x＝h时，y取最大值k.
3．做一做：
你能说出函数y＝－(x－1)2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y＝－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标是(1，2)．)
三、反馈训练
1．基础练习
(1)说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、最大值或最小值．
①y＝2(x－4)2－13；②y＝2(x－4)2＋13；③y＝－5(x－7)2－13；④y＝－3(x＋2)2＋1.
(2)将抛物线y＝2(x－4)2－1如何平移可得到抛物线y＝2x2(　　)
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2．拓展练习
把抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y＝x2，求b、c的值．
四、导学归纳
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y＝a(x－h)2＋k中k的值；左右平移，只影响h的值．抛物线的形状不变．所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
五、作业
1．二次函数y＝－5(x－2)2－1，图象是________，开口________，对称轴是直线______，顶点坐标为________，当x________时，函数y随x的增大而增大，当________时，y随x的增大而减小，当x________时，函数y有最________值是________．
2．抛物线y＝－(x－8)2＋2的顶点坐标是(　　)
A．(2，8)　　　　　　　　B．(8，2)
C．(－8，2) D．(－8，－2)
3．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
y＝－3x2，y＝－3(x＋2)2，y＝－3(x＋2)2－1，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．二次函数y＝5(x＋2)2＋3的图象与y＝5(x－3)2＋4的图象如何相互平移得到．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．
第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
教学目标
?知识与技能
1．经历求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点的过程．
2．能通过配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标，并掌握二次函数的性质．
?过程与方法
通过思考(立足于旧知识考虑新问题)、探究、归纳、尝试(应用)等过程，让学生从中学会探索新知的方式方法．
?情感、态度与价值观
经历求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合思想方法．
重点难点
?重点
通过配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式，求对称轴和顶点坐标．
?难点
二次函数性质的综合应用．
教学过程
一、自学导纲
1．写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴．
(1)y＝2x2；(2)y＝3(x－1)2；
(3)y＝－x2＋1；(4)y＝3(x－2)2＋3.
2．填空：
(1)x2＋6x＋________＝(x＋________)2；
(2)x2－x＋________＝(x－________)2；
(3)x2＋6x－9＝(x＋________)2＋________；
(4)x2－5x＋8＝(x－)2＋________．
3．情景引入
不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
二、合作互动
例　已知二次函数y＝2x2－4x－6，
(1)求出此函数的顶点坐标及对称轴；
(2)当x取何值时，函数有最值？最值是多少？
(3)当x取何值时，函数值y随x的增大而减小？
分析：解决此题的关键是将二次函数的一般式化为顶点式，可以直接配方也可用顶点坐标公式．
解答：y＝2x2－4x－6
＝2(x2－2x)－6
＝2(x2－2x＋1－1)－6
＝2(x－1)2－8
(1)此函数图象的顶点为(1，－8)，对称轴为x＝1；
(2)当x＝1时，函数有最小值，最小值为－8；
(3)当x＜1时，y随x的增大而减小．
总结反思：求二次函数的顶点坐标或最值有两种方法：(1)将一般式化为顶点式；(2)直接运用公式．
问题1：(1)将函数y＝x2－12x＋42写成y＝a(x－h)2＋k的形式，并确定这个抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标．
说明：①根据复习回顾2学生不难完成，对有困难的学生要给予引导．
②指出这种求抛物线顶点坐标的方法叫配方法．并指出与用配方法解一元二次方程的异同点．
(2)根据解题方法，解决情景引入中的问题．
问题2：你能根据上面的方法写出抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴和二次函数的性质吗？
说明：先让学生独立完成，然后小组交流，形成共识．最后教师给出解答．
y＝ax2＋bx＋c＝a＋c＝a[x2＋x＋－()2]＋c＝a＋.所以顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；若a＞0，则抛物线的开口向上，当x＞－时，函数值y随x的增大而增大；当x＜－时，函数值y随x的增大而减小，当x＝－时，y取最小值；若a＜0，则抛物线的开口向下，当x＞－时，函数值y随x的增大而减小，当x＜－时，函数值y随x的增大而增大，当x＝－时，y取最大值.这就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质．
问题3：请你画出二次函数y＝－2x2＋4x＋6的图象．
(学生讨论合作完成)
解：y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x2－2x)＋6＝－2(x2－2x＋1－1)＋6＝－2[(x－1)2－1]＋6＝－2(x－1)2＋8.
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，8)．
由对称性列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－10
0
6
8
6
0
－10
…
描点、连线，如图所示．
说明：(1)列表时选值，应以对称轴x＝1为中心，间距要适当，函数值可由对称性得到．
(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
思考：画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，应注意什么？
三、反馈训练
1．基础练习
(1)抛物线y＝2x2＋4x＋5的对称轴是x＝________．
(2)二次函数y＝2x2－2x－1的图象的顶点是________，当x________时，y随x的增大而减小．
2．拓展练习
(1)开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝________．
(2)已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．
四、导学归纳
本节课你有哪些收获？
(1)教师引导学生从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)顶点坐标、对称轴、最大(小)值及平移规律等总结．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的画法．
五、作业
必做题
《名师学案》“综合练·能力提升”部分．
选做题
1．当a＜0时，求抛物线y＝x2＋2ax＋1＋2a2的顶点所在的象限．
2．已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求抛物线的顶点坐标．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法．

第5课时　二次函数最值的应用
教学目标
?知识与技能
1．会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值．
2．能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．
?过程与方法
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
?情感、态度与价值观
通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识．
重点难点
?重点
会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值．
?难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
教学过程
一、自学导纲
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10.
2．求二次函数的最大值或最小值的方法有几种？求下列函数的最大值或最小值．
(1)y＝x2＋2x－3；(2)y＝1＋2x－x2.
3．在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如求最大利润、最大面积，花费最小等，这些问题常常与二次函数的最大值或最小值有关．它们的实质是求什么？
二、合作互动
1．应用举例
例1　李强的叔叔以每件8元的价格进了一批商品，售价为每件12元，每天可售100件，他想通过提高售价来增加利润，但他发现价格每增加1元时，每天少卖5件，问李强的叔叔将售价定为多少时获利最大？获得最大利润为多少元？
解答：设李强的叔叔将售价定为x元时，销量为y件，获利为P(元)，则销售量y＝100－5(x－12)＝160－5x，∴获得利润P＝(x－8)(160－5x)＝－5x2＋200x－1280＝－5(x－20)2＋720，∴当x＝20时，P最大＝720，故当售价定在20元时每天获利最大，最大利润为720元．
总结反思：(1)建立数学模型，将实际问题转化为二次函数问题，并表示出二次函数关系式．(2)由二次函数性质求出这个二次函数的最大(小)值，即可求出实际问题的最大(小)值．(3)求二次函数的最大(小)值时，要注意自变量的取值范围，当顶点的横坐标在自变量的取值范围内时，最大(小)值在顶点处取得．当顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，就要考虑给定范围的端点处的函数值．
例2　要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围才能使围成的花圃的面积最大？
解：设矩形的AB为x m，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.
围成的花圃面积y与x的函数关系式是
y＝x(20－2x)，即y＝－2x2＋20x，
配方得y＝－2(x－5)2＋50.
所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.
因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.
所以应围成宽5m、长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．
2．归纳
通过以上两个例题的学习，你能总结一下用二次函数解决实际问题(求最大值或最小值)的方法吗？
分析等量关系，建立二次函数关系式，利用二次函数的性质，求出最大值或最小值．
3．拓展应用
用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
思考并解决以下问题：
(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少？(m)
(2)根据实际情况，x有没有限制？若有限制，请指出它的取值范围，并说明理由．
让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且＞0，即得到不等式组解这个不等式组，得到不等式组的解集为0＜x＜2，所以x的取值范围应该是0＜x＜2.
(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗？
在师生共同分析后，学生独立完成解答过程，并小组交流．
小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：
(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)研究所得的函数；
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
(5)解决提出的实际问题．
三、反馈训练
(1)某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
(2)当2.5≤x≤3.5时，求二次函数y＝x2－2x－3的最大值或最小值．
思考：在求实际问题中的最大值或最小值时，应注意什么？
解析：应注意抛物线的顶点是否在自变量的取值范围内，若不在，则在顶点处不是最大值或最小值．
四、作业
1．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，那么m的值是________．
2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销量y(件)之间关系如下表：
x(元)
130
150
165
y(件)
70
50
35
若日销量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售定为多少元？此时每日销售利润是多少？
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.
(1)用含y的代数式表示AE；
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策．
26．2.3　求二次函数的表达式
教学目标
?知识与技能
1．会利用待定系数法求二次函数关系式．
2．学会利用二次函数解决实际问题．
?过程与方法
在解决实际问题中体会二次函数的应用．
?情感、态度与价值观
体会实际解决问题的方法，为下一步探索打基础，培养热爱科学、勇于探索的精神．
重点难点
?重点
掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择适当的形式来求二次函数的关系式．
?难点
熟记、区分并能灵活运用三种关系式，利用待定系数法求二次函数的关系式．
教学过程
一、自学导纲
1．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
(由此题引出新课——求二次函数的关系式．)
2．复习回顾
根据下列条件，分别写出相应的函数关系式．
1．y与x成正比，其图象过点P(2，1)；
2．函数y＝2kx＋k的图象过点(2，－5)；
3．一次函数图象过点(1，2)、(－3，5)．
二、合作互动
问题　解答上面的问题，运用了什么数学方法？运用这种数学方法的一般步骤是什么？
说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤．
例1　求满足下列条件的二次函数的关系式．
(1)图象经过A(0，3)，B(1，3)，C(－1，1)；
(2)图象顶点坐标为(1，－6)，且经过点(2，－8)；
(3)图象经过A(－1，0)，B(3，0)，函数有最小值－8.
解答：(1)设所求函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，∵图象经过A(0，3)，∴3＝a×02＋b×0＋c，∴c＝3.又∵图象过B(1，3)，C(－1，1)，
∴，解得，
∴函数关系式为y＝－x2＋x＋3.
(2)∵图象顶点为(1，－6)，
∴可设其关系式为y＝a(x－1)2－6，
∵图象经过点(2，－8)，
∴－8＝a(2－1)2－6，
∴a＝－2，
∴关系式为y＝－2(x－1)2－6＝－2x2＋4x－8.
(3)∵函数有最小值是－8，且图象过(－1，0)，(3，0)
∴图象的顶点为(1，－8)
可设其关系式为y＝a(x－1)2－8
又∵图象过(－1，0)
∴a(－1－1)2－8＝0
∴a＝2，
∴关系式为y＝2(x－1)2－8＝2x2－4x－6.
总结反思：运用待定系数法确定二次函数关系式时，首先观察题目中所给的条件，根据不同的条件选择适当的关系式形式，然后代入点的坐标，通过解方程(组)求出字母系数的值，从而确定函数关系式．有时，条件的形式之间可以发生转化，要注意灵活运用．
例2　已知一个二次函数的图象过点(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的关系式．
解答：设所求的二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由这个函数的图象经过(0，1)，可得c＝1.又由于其图象过(2，4)、(3，10)两点，可得解这个方程组，得a＝，b＝－.
因此，所求的二次函数的关系式为y＝x2－x＋1.
说明：通常求二次函数的关系式，要列出三个方程；但如果一个二次函数关系式只有一个或两个待定的系数，就要列出一个或两个方程即可，一般地有几个待定的系数，就要列几个方程．此题是典型的根据三点坐标求其关系式，关键是：(1)熟悉待定系数法；(2)点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的关系式；(3)会解简单的三元一次方程组．
例3　已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式．
分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：
y＝a(x－8)2＋9.
由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值．
请同学们完成本例的解答．
思考：当题目改为当x＝8时，y取最大值9，且图象过点(0，1)，你能求出这个二次函数的关系式吗？
说明：当题目中与标点坐标、对称轴方程、最大值、最小值有关时，一般将关系式设为y＝a(x－h)2＋k的形式．
三、反馈训练
1．已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式．
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是________．如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______．
3．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式．(用两种方法求解)
四、拓展运用
已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是2和3，与y轴的交点的纵坐标是72，求这个二次函数的关系式．
学生独立完成．
说明：(1)解题时，要注意挖掘题目中的隐含条件；
(2)可视学生的实际介绍第二种解法：设二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)＝a(x－2)(x－3)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标，把点(0，72)代入，即可求得a，从而求出关系式．
五、导学归纳
1．本节课你有哪些收获？
可引导学生总结：
(1)二次函数关系式常用的三种形式：
①一般式：____________________(a≠0)；
②顶点式：____________________(a≠0)；
③交点式：____________________(a≠0)．
(2)本节课是用待定系数法求函数关系式，应注意根据不同的条件选择合适的关系式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质．①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式；②当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式；③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．
2．你还有什么疑惑？
六、作业
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－，，与x轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式．
3．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
课后反思：
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算．

26．3　实践与探索
第1课时　探索抛物线形问题
教学目标
?知识与技能
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
?过程与方法
1．通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用，发展数学思维．
2．在转化、建模中，让学生学会合作、交流．
?情感、态度与价值观
1．通过对实际问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情．
2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．
重点难点
?重点
利用二次函数性质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题．
?难点
建立二次函数的数学模型．
教学过程
一、自学导纲
求下列的最大值或最小值．
(1)y＝2x2－3x＋2；(2)y＝－x2－3x＋4.
(2)生活中，我们会遇到与二次函数及其图象有关的问题，奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其他方面的运用吗？
二、合作互动
例　某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成(如图所示)，若设花园的边BC为xm，花园的面积为ym2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值：若不能，说明理由．
(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x取何值时，花园面积最大？最大面积为多少？
解答：(1)根据题意，得y＝x·，∴y＝－x2＋20x(0＜x≤15)．
(2)不能．理由如下：当y＝200时，即－x2＋20x＝200，
∴x2－40x＋400＝0，解得x＝20＞15.∵0＜x≤15，
∴此花园的面积不能达到200m2.
(3)∵y＝－x2＋20x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝20，∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y有最大值，y最大值＝－×152＋20×15＝187.5，即当x＝15时，花园的面积最大，最大面积为187.5m2.
问题1　如图(1)，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，柱高为1.25m，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.
(1)若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？(精确到0.1m)
说明和建议：
1．教师引导学生分析题意：这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图(2)，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
2．建立直角坐标系后，引导学生求出二次函数的关系式．让学生思考A点坐标是多少，B点坐标是多少，从而求出关系式．
3．在求出函数关系式后，让学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求如图(2)C点的横坐标，问题(2)就是求出此时抛物线的函数关系式，求此二次函数的最大值．
4．学生解答，教师巡视指导，并让学生板演，最后教师讲评．
解：(1)以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C(如图(2))．
由题意得，A(0，1.25)，B(1，2.25)，
因此，设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25.
将A(0，1.25)代入上式，得1.25＝a(0－1)2＋2.25，解得a＝－1.
所以，抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.
当y＝0时，解得x＝－0.5(不合题意，舍去)，x＝2.5，
所以C(2.5，0)，即水池的半径至少要2.5m.
(2)由于喷出的抛物线形状与(1)相同，可设此抛物线为y＝－(x－h)2＋k.
由抛物线过点(0，1.25)和(3.5，0)，可求得h＝－1.6，k＝3.7.
所以，水流最大高度应达3.7m.
思考：你还有什么方法建立直角坐标系，解答此题？
问题2　一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?
说明与建议：
1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度．在如图所示的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．
2．让学生完成解答，教师巡视指导．
3．教师分析存在的问题，书写解答过程．
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．
这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2(a＜0)．
因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)．
因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y＝ax2，得－2.4＝a×0.82，所以a＝－.
因此，函数关系式是y＝－x2.
因为OF＝OC－CF＝2.4－1.5＝0.9m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－0.9)．因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代入y＝－x2，得
－0.9＝－x，x1＝±，x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝.
ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×2.449≈0.980(m)．
所以涵洞ED是m，不会超过1m.
思考：你能归纳出用二次函数解决实际问题的步骤吗？
三、反馈训练
1．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x2＋x＋，问此运动员把铅球推出多远？
2．青海玉树大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天(含12天)内完成．已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶．由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元．设生产这批帐篷的时间为x天，每天生产的帐篷为y顶．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)若这批帐篷的订购价格为每顶1 200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出该车间捐款给灾区多少钱？
四、导学归纳
本节课你学到了什么，还有什么困惑？
说明：引导学生从二次函数的建模入手总结．
五、作业
必做题
1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．
选做题
2．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的函数关系式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．　　
3．“假日游乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5m的平台(点P在y轴上)．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点，且点B到水面的距离BE＝2m，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG＝m，与点B的水平距离CF＝2m.
(1)求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
(2)求二次函数的关系式及其自变量的取值范围；
(3)小明从点A滑到水面点D处时，试求他所滑过的水平距离d.
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题．
第2课时　二次函数与一元二次方程、一元二次不等式
教学目标
?知识与技能
1．知道二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程解的个数之间的关系．
2．知道二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、一元二次不等式的解集．
?过程与方法
经历探索函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程，体会方程、不等式与函数之间的联系．
?情感、态度与价值观
通过观察二次函数图象与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合的思想．
重点难点
?重点
利用图象法求一元二次方程的近似解一元二次不等式的解集．
?难点
进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．
教学过程
一、自学导纲
给出三个二次函数：(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝x2－x＋1；(3)y＝x2－2x＋1.它们的图象分别为：
观察图象与x轴的交点个数，分别是________个、________个、________个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
说明：初步感受二次函数与一元二次方程的关系．
二、合作互动
例　已知二次函数y＝x2－6x＋8.
(1)求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)画出二次函数的图象；
(3)利用图象求不等式x2－6x＋8＜0的解集．
分析：抛物线与x轴的交点横坐标就是方程x2－6x＋8＝0的解，不等式x2－6x＋8＜0的解集就是抛物线上y＜0的点对应的x的范围．
解答：(1)令y＝0得x2－6x＋8＝0.解这个方程得x1＝2，x2＝4，所以抛物线与x轴交点为(2，0)，(4，0)；(2)如图所示；(3)从图上看，y＜0时，2＜x＜4，所以不等式x2－6x＋8＜0的解集为2＜x＜4.
问题1　画出函数y＝x2－x－的图象，根据图象回答下列问题．
(1)图象与x轴交点的坐标是什么；
(2)当x取何值时，y＝0；这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系？
(3)你能从中得到什么启发？
说明与建议：
①先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象．
②教师巡视，与学生合作、交流．
③教师讲评，并画出函数图象，如图所示．
④教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是和.
⑤让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．
⑥对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．
问题2　根据问题1的图象回答下列问题．
(1)当x取何值时，y＜0当x取何值时，y＞0?
(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？
说明与建议：
①引导学生观察图象，这个函数图象在x轴上方的部分上的点，它的纵坐标都为正；在x轴下方的部分上的点，它的纵坐标都为负．
②y＞0表示在图象上表示图象在x轴上方的部分点；y＜0表示在图象上表示图象在x轴下方的部分点．
③根据分析写出结论：当x＜－或x＞时，y＞0；当－＜x＜时，y＜0.用含x的不等式表示(1)是：解不等式x2－x－＞0，x2－x－＜0.
④师生归纳出二次函数与一元二次不等式的关系：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的点对应的自变量的取值范围；不等式ax2＋bx＋c＜0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴下方的点对应的自变量的取值范围．因此可用画图象法求一元二次不等式的解集．
三、反馈训练
1．画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题．
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
(2)当x取何值时，y＝0；这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？
(3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?
2.
已知二次函数y＝x2－3x－4的图象如图，则方程x2－3x－4＝0的解是________，不等式x2－3x－4＞0的解集是________，不等式x2－3x－4＜0的解集是________．
3．抛物线y＝3x2－2x－5与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为________．
4．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
四、拓展运用
育才中学初三(3)班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2＝x＋3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2－x－3＝0，画出函数y＝x2－x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝x＋3的图象，如图所示，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解．
思考：
(1)这两种解法的结果一样吗？
(2)小刘解法的理由是什么？
让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳．
(3)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？
(4)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？
(5)如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样？
五、导学归纳
1．本节课你有什么收获？
(1)二次函数与一元二次方程的关系．
(2)二次函数与一元二次方程根的情况的关系．
(3)二次函数与一元二次不等式解集的关系．
(4)怎样用图象法解方程、方程组．
2．对本节课，你还有哪些疑惑？
六、作业
必做题
1．已知二次函数y＝x2＋x－6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
(1)方程x2＋x－6＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0；x取什么值时，函数值小于0?
2．如果二次函数y＝x2－6x＋c的顶点在x轴上，求c的值．
选做题
3．已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)．
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标．
4．如图所示，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y2＝kx＋b(k≠0)的图象交于A(－2，4)、B(8，2)．求能使y1＞y2成立的x的取值范围．
课后反思：
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系．

第27章　圆
27．1　圆的认识
27．1.1　圆的基本元素
教学目标
?知识与技能
1．通过观察实验操作，使学生明确圆的定义．
2．结合图形理解圆的基本元素弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角等有关概念．
?过程与方法
通过实验观察，让学生深刻认识圆的基本概念．
?情感、态度与价值观
结合本课教学重点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透．
重点难点
?重点
圆中基本概念的认识．
?难点
对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解．
教学过程
一、自学导纲
在现实生活中有大量的物体呈现圆形，如在浩瀚的大海上，一轮红日冉冉升起；优美的圆形工艺品、优美的圆形图案等．古希腊数学认为“一切平面图形中最美的圆形”，它的完美来自于中心对称，无论在哪个位置，都具有同一形状，它最谐调、最匀称．
想一想与圆对称有关联的还有哪些性质？为什么车轮要做成圆形的？
(通过问题，引出新课)
二、合作互动
例　如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，试比较a，b，c的大小．
分析：线段BC、EF、NH分别是矩形ABOC、DEOF、HMNO的一条对角线，而矩形的另一条对角线都是半径，根据矩形的特征和“同圆的半径相等”可识别a，b，c的大小关系．
解答：∵四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，∴BC＝OA，EF＝OD，NH＝OM.又∵点A、D、M都在半圆O上，∴OA＝OD＝OM，∴BC＝FE＝NH，即a＝b＝c.
问题1　圆的画法
(1)据统计，某个学校的同学上学方式是：有50%的同学步行上学，有30%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有20%.请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式．
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，下图就是反映学校学生上学方式的扇形统计图．
(2)根据你画圆的过程，阐述圆是如何形成的？
(如图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形．固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O为圆心的圆记做“⊙O”，读做“圆O”．)
(3)由以上的画圆的过程，思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？
(圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定．)
(4)同圆的半径之间有什么关系？直径和半径之间有什么关系？
(同圆的半径相等，直径是半径的2倍．)
说明：明确圆的画法、记法，圆心、半径、直径的概念；同圆的半径相等；圆的确定要素．
问题2　圆的基本概念
(1)弦：连接圆上两点间的线段叫做圆的弦，你能指出下图中的圆的弦吗？
(2)弧：①天边的一道彩虹，一轮红日从地平线下缓缓升起，此时，你所看到的是一个完整的圆吗？
(不是，它是圆的一部分．)
②如上图所示曲线AB，BC，BAC都是⊙O的弧，分别记作、、；其中像、这样小于半圆周的弧叫劣弧，像这样大于半圆周的弧叫优弧，优弧一般用三个字母表示(其中中间的字母可以是弧上的任意一点)；而线段AB、BC、AC都是⊙O的弦．
(3)在上图中，∠AOB、∠BOC有何共同特点？你能试着给它起一个合适的名字吗？
(顶点都在圆心上，顶点在圆心上的角叫做圆心角．)
说明：明确弦、弧、优弧、劣弧、圆心角的概念及记法．
三、反馈训练
1．判断题：
①同一个圆的直径的长是半径的2倍．(　　)
②直径是弦．(　　)
③弦是直径．(　　)
④过圆心的线段是直径．(　　)
2．如图1所示，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在同一直线上，则图中弦的条数有(　　)
A．2条　　B．3条　　C．4条　　D．5条
图1
　　　　图2
3．如图2所示，点A、O、C以及B、O、E分别在一条直线上，请用字母表示出所有的弦，并列举一条直径、四条半径、三个圆心角、三条劣弧、三条优弧．
4．如图所示，AB、AC为⊙O的两条弦，且AB＝AC，求证：∠BAO＝∠CAO.
四、导学归纳
通过本节课学习，你有什么收获或疑惑？
五、作业
1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．
2．下列说法正确的是(　　)
A．弦是直径
B．过圆心的直线是直径
C．两个半径相等的圆是等圆
D．弧是半圆
3．如图所示，有________条直径，________条弦，以A为一个端点的优弧有________条，劣弧有________条．
4．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF.
求证：OE＝OF.
课后反思：
教学过程中，强调学生自己动手画圆，了解圆形成的过程，同时讨论、交流各自发现的圆的有关的性质．

27．1.2　圆的对称性
第1课时　圆的对称性
教学目标
?知识与技能
知道圆是中心对称图形和轴对称图形，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系及它们在解题中的应用．
?过程与方法
经历圆心角、弧、弦之间的关系的探索过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
?情感、态度与价值观
激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，培养学生善于从实验中获取知识的科学方法．
重点难点
?重点
在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系及其应用．
?难点
探索在同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系及其应用．
教学过程
一、自学导纲
1．前面我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？
2．圆是一个特殊的图形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？
二、合作互动
1．实验发现
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如下图所示)，圆心固定．
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合．
(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
说明：教师叙述，学生操作．
思考：(1)通过上面的实验，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．
学生回答：①由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；②由两圆半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′＝∠O′B′A′；③由△AOB≌△A′O′B′，可得AB＝A′B′；④由旋转可得＝.
说明：在学生回答的基础上师生共同分析——我们在上述实验的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′.这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即＝，AB＝A′B′.
(2)通过上面的操作与思考，你能得出什么结论？
在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
说明：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
(3)如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(学生互相交流、讨论回答，最后教师归纳．)
结论：在同一个圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
在同一个圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
教师归纳：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的另两组量也相等．
2．典型例题
例1　如图，⊙O的弦AB＝CD，求证：AD＝BC.
分析：根据圆心角、弧、弦之间的关系只要知道其中一组量相等，我们就可以判定其它各组量相等，从而问题得以解决．
解答：∵AB＝CD，∴＝，∴－＝－，∴＝，∴AD＝BC.
总结反思：在等圆中证两条弦相等，常利用相对应的两条弦心距相等，两条弧相等或两个圆心角相等来证明．
例2　如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝.
(1)求半径OD；
(2)根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
解答：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝24m，
∴ED＝CD＝12m.
在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，
∴OD＝13m.
(2)∵OE＝＝＝5(m)．
∴将水排干需：5÷0.5＝10(小时)．
总结反思：在解决圆中有关弦的问题时，经常过圆心作弦的垂线段，从而利用垂径定理解题．另外，经常利用圆心到弦的距离、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形．
三、反馈训练
1．请说明下面的说法是否正确？为什么？
如图所示，因为∠AOB＝∠COD，所以＝.
2.在⊙O中，若＝所对的圆心角分别为80°、70°，则所对的圆心角为多少度？
3．如图所示，AB是⊙O的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，找出与线段OA相等的所有线段；与弧相等的所有的弧．
四、导学归纳
本节课你有什么收获？
在学生归纳总结的基础上，教师提出注意的问题：
(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然同心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，圆心角相等的弦相等”等．
五、作业
1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．
2．在⊙O和⊙O′中，若∠AOB＝∠A′O′B′，则有(　　)
A.＝　　B.＞
C.＜　　D.与的大小无法确定
课后反思：
圆的对称性是圆的重要性质之一，在圆的有关内容中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与直线的位置关系和数量关系的基础．在课堂教学过程中能根据教学内容的特点，采用提问、组织实践探究、学生亲身经历感受、电脑动画演示、练习等多种教学方法达到目标的完成．
第2课时　垂径定理
教学目标
1．探索垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．
教学重点
垂径定理、推论及其应用．
教学难点
发现并证明垂径定理．
教学过程
一、创设情境　明确目标
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．
二、自主学习　指向目标
1．自读教材．
2．学习至此：请完成学生用书“基础练·巩固新知”部分．
三、合作探究　达成目标
探究点一　垂径定理及其推论的推导
阅读教材第38页上半部分内容．解决问题：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的________．
符号语言：如图，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴________＝________，
________＝________，
________＝________．
(2)垂径定理的推论：
________弦(　　　　)的直径垂直于弦，并且________弦所对的两条孤．
符号语言：如图，在⊙O中，AB是直径，非直径的弦CD与AB相交于点E，且CE＝DE.
∵AB是直径，CE＝DE，
∴________，________，________．
思考：为什么要在垂径定理的推论中，加上“(不是直径)”这一限制条件？
【点拨升华】学习垂径定理要注意：(1)条件中的“弦”可以是直径．(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．学习垂径定理的推论时，一定要注意“弦不是直径”这一条件．这是因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
探究点二　垂径定理的应用
阅读教材第39页内容．
思考：从数学的角度分析已知什么几何图形？画出它，分析已知哪些量？要求什么量？为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？
【反思小结】在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式__R__2＝__d__2＋__()__2.
四、总结梳理　内化目标
1．垂直于弦的直径
2．一种辅助线和一种数学思想方法．
五、达标检测　反思目标
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD＝5，则弦AC＝__10__.
2．若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是__1__cm.
3．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是__6__．
第3题图
　　第4题图
4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( A )
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
5．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离是( D )
A．7cm　　　　　　　　　B．1cm
C．7cm或4cm D．7cm或1cm
课后自测
见学生用书的“综合练·能力提升”部分．
课后反思：
垂径定理是一个很重要的定理，由于它涉及到的条件结论比较多，学生容易搞混肴．
27．1.3　圆周角
教学目标
?知识与技能
1．理解圆周角的定义．
2．理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直径所对的圆周角是直角．
3．能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算．
?过程与方法
1．通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知的能力．
2．通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；培养学生的归纳和逻辑推理能力．
?情感、态度与价值观
1．经历探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力．
2．通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验．
重点难点
?重点
圆周角定理及运用．
?难点
运用数学分类的思想证明圆周角定理．
教学过程
一、情景导入
如图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？(顶点在圆心)，今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角．
二、合作互动
探究1　圆周角
(1)究竟什么样的角是圆周角呢？像上图(3)中的角就叫做圆周角，而上图中(2)、(4)、(5)中的角都不是圆周角．上图(3)中的角有哪些特点？同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角．
师生讨论归纳，得出结论：顶点在圆周上并且两边和圆相交的角叫圆周角．
(2)针对练习1　找出下图中的圆周角．
探究2　直径上圆周角的性质
(1)画⊙O与其直径AB，任意画一个圆周角∠ACB，互相交流一下，你们所画的图形完全一样吗？这说明了什么？(不一样，说明一条弦所对的圆周角有无数个．)
(2)用量角器量量看，∠ACB的度数如何？(90°)
(3)由此你能猜想出什么结论？
(通过测量，让学生初步认识到直径所对的圆周角等于90°(或直角)．)
(4)请用逻辑推理的方法，说明你的猜想正确．
证明：如图，因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处(除点A、B)，∠ACB总等于90°.
归纳：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)．反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径．
(5)针对练习2　如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°.求∠ABC的度数．
探究3　同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
(1)如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？
(∠ADB、∠ACB分别是⊙O的圆周角；∠AOB是圆心角；它们都是弧所对的角．)
(2)分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下．再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化．你发现其中有什么规律吗？
(3)分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
(圆周角的度数没有变化．并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半．)
(4)由此你能猜想出什么结论？
在同一个圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
(5)如右图所示，你能为你的猜想结论说明理由吗？
因为OA＝OC，所以∠A＝∠C，
又由于∠AOB是△OAC的外角，所以∠AOB＝∠A＋∠C，所以∠C＝∠AOB.
(6)如上图中的圆心角和圆周角都有一边过圆心，这只是一种特殊情况：想一想，并画画看，还可以画出哪些不同的图形？
学生小组合作交流，得出如图(1)、图(2)两种情况．
(7)你能证明这种情况下猜想成立吗？
教师指出这两种情况仍然成立，为此只需过C作⊙O的直径即可，具体让学生证明．
结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．
例　如图，△ABC的三个顶点A、B、C均在⊙O的圆周上，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径．求证：AB·AC＝AD·AE.
分析：将结论转化为比例式，然后观察这些线段所在的三角形是否相似，根据需要可添加辅助线构造相似三角形．
解答：证明：连结CE，∵AE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B，∠E所对的弧都是.∴∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB∶AE＝AD∶AC，∴AB·AC＝AE·AD.
总结反思：利用圆周角定理寻找相等的角，是解决圆的有关计算和证明常用的方法．
三、反馈训练
1．　试分别求出下图中∠x的度数．
(1)
2．　已知，如图(1)，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.
求证：＝.
3．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，若∠ABD＝40°，则∠BCD＝________．
说明：第1题让学生独立完成，然后统一答案讲评；第2题引导学生分析出要证＝，只需证明它们所对的圆周角相等即可，为此需连接AD，证明∠BAD＝∠CAD，然后让学生完成证明过程．
四、导学归纳
本节课你有什么收获？
知识总结：本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角).90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题．
方法归纳：在探索一个新的结论或事物的时候，往往要遵循从感性到理性、从特殊到一般的思想．
五、作业
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC＝100°，则∠ABC等于(　　)
A．140°　B．110°　C．120°　D．130°
2．半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为________．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，∠ACD＝60°，∠ADC＝70°，求∠ABC的度数．
4．思考：(1)用尽量多的方法找出图中所示圆的圆心．
(2)在同一个圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弦相等吗，为什么？
课后反思：
教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟悉掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周角定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑．

27．2　与圆有关的位置关系
27．2.1　点与圆的位置关系
教学目标
?知识与技能
1．了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系．
2．了解不在同一直线上的三点确定一个圆，能画出三角形的外接圆．
3．了解三角形外接圆、圆的外接三角形、三角形外心的概念．
?过程与方法
通过自主探索与交流合作，经历探索确定圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上三点确定一个圆，能运用点与圆的位置关系的结论解决一些实际问题．
?情感、态度与价值观
1．培养观察力，严密、全面分析问题的思维习惯．
2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
重点难点
?重点
用数量关系判断点和圆的位置关系，用尺规作三角形的外接圆，求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径．
?难点
运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径．
教学过程
一、自学导纲
1．圆是如何定义的？(要求学生用两种定义回答)
2．你能举例圆是如何形成的吗？
3．圆形成后，圆上的点到圆心的距离如何？
4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．
二、合作互动
探究一　点与圆的位置关系
(1)我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径．若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径；若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径；若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径．
如图所示，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那么OAr.反过来也成立．
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
点P在圆外?d>r，
点P在圆上?d＝r，
点P在圆内?d(2)反馈训练1：
①⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线AB的距离d＝OD＝3cm.在直线AB上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD>4cm，RD<4cm.P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？
②Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AB＝13，AC＝5，以C点为圆心，为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？
探究二　不在同一直线上的三点确定一个圆
(1)过一点A可以画多少个圆？
教师引导学生画图，并得出圆心可以是平面上任一点，半径就是这点和点A之间的线段．
(2)平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？
教师引导学生画图，得出过二点可以作无数个圆，这些圆的圆心在段线AB的垂直平分线上．
(3)平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？
教师可提问学生：同学们想一想，画圆的要素是什么？(圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小)，所以关键的问题是定其圆心和半径．
归纳：如图所示，如果A、B、C三点不在同一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．
结论：不在同一直线上的三点确定一个圆．
说明：教师讲解“确定”的含义．
思考：①经过三点能确定一个圆吗？
答案：当三点在同一直线上，不能作圆，当三点不在同一直线上，能确定一个圆．
②过三角形的三个顶点能作一个圆吗？由此你能猜想出什么结论？
探究三　三角形的外接圆
由上面讨论可知，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆(circumcircle)．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心(circumcenter)．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．
思考：三角形外心有什么性质？
例1　如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.
(1)以A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
(2)若以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
分析：要判断B、C、D与⊙A的位置关系，只要比较AB、AC、AD与半径4cm的大小关系．
解答：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点B在⊙A内．
∵AC＝＝5(cm)＞4cm，∴点C在⊙A外．
∵AD＝4cm，∴点D在⊙A上．
(2)∵AB＜AD＜AC，∴满足条件的⊙A半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm.
总结反思：判断点与圆的位置关系，应先确定点与圆心的距离，再与半径比较大小．
例2　如图所示，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.
(1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系是如何？
(2)若以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
三、反馈训练
1．三角形的外心是(　　)
A．三条中线的交点
B．三条内角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三条边垂直平分线的交点
2．分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再画出它的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的关系？
3．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．
一个三角形的三边长分别为3、4、5.则这个三角形的外接圆半径是________．
四、导学归纳
本节课你有什么收获？
五、作业
1．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　)
A．第①块　　　　　　　B．第②块
C．第③块 D．第④块
2．下列说法正确的是(　　)
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任何点
B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过不在同一直线上的三点A、B、C的圆的圆心有且只有一个
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
3．用图形表示到定点O距离小于或等于4cm，大于或等于2cm的点的集合．
4．思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明．
课后?