北师大版数学必修4同步教学课：第2章-3.1 数乘向量

课件29张PPT。§3　从速度的倍数到数乘向量
3．1　数乘向量
内容要求　1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)．
知识点1　数乘向量的概念与运算律
(1)数乘向量：
①定义：λa是一个 ；
②长度：λ|a|；
③方向：向量 相同 相反 任意 (2)数乘向量的运算律：
①λ(μa)＝ (λ，μ∈R)；
②(λ＋μ)a＝ (λ，μ∈R)；
③λ(a＋b)＝ (λ∈R)．(λμ)a λa＋μa λa＋λb ××√知识点2　向量共线的判定定理与性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.【预习评价】
1．若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
提示　不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．
2．如果向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R)吗？
提示　不一定．当a＝0，b≠0时，λ不存在.规律方法　对数乘向量的四点说明
(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.
(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．【训练1】　已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有(　　)
①λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；
②λ＞0，a≠ 0时，λa与a的方向一定相同；
③λμ＞0，a≠ 0时，λa与μa的方向一定相同；
④λμ＜0，a≠ 0时，λa与μa的方向一定相反．
A．1个　 B．2个
C．3个 D．4个解析　由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．
答案　D规律方法　向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．【训练2】　若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)
A．－a B．－4b
C．c D．a－b
解析　3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2) b－2 c ＝a－2(b＋ c)＝a－2a＝－a.
答案　A规律方法　应用向量共线定理时的注意点
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线. 解析　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
答案　C 答案　C 答案　2 答案　－3