北师大版数学必修4同步教学课：第2章-5 从力做的功到向量的数量积
文档属性
| 名称 | 北师大版数学必修4同步教学课：第2章-5 从力做的功到向量的数量积 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 909.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-05 23:40:20 | ||
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文档简介
课件36张PPT。§5 从力做的功到向量的数量积 内容要求 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．∠AOB＝θ 0°≤θ≤180° 同向 反向 ⊥ |b|cos θ |b|cos θ 知识点2 向量的数量积
(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把
叫作a与b的数量积(或内积)，记作 ，即a·b＝ .
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影 的乘积，或b的长度 与a在b方向上投影 的乘积．
(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积 .|a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ |b|cos θ |b| |a|cos θ F·s |a|cos θ a·b＝0 ≤ (5)运算律：
交换律：a·b＝ .
结合律：(λa)·b＝ ．
分配律：a·(b＋c)＝ .b·a λ(a·b)＝a·(λb) a·b＋a·c 答案 A题型一 数量积的基本概念
【例1】 下列判断：
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是________（填序号）．解析 由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③错；
对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；
对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；对于⑦，当a与b的夹角为0°时，
也有a·b>0，因此⑦错；
对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错．
综上可知①②⑥正确．
答案 ①②⑥
规律方法 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．【训练1】 给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．
解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
答案 ④题型二 数量积的运算
【例2】 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．
解 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.规律方法 (1)向量的数量积在表示时，a与b之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．
(2)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b|和|a|.③求它们的数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.【训练2】 已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(a＋b)·(a＋b)；
(4)(a－2b)·(3a＋b)．
解 (1)a·b＝|a|·|b|·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝－7.
(3)(a＋b)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a|·|b|·cos θ＋|b|2＝13.
(4)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2＝25.方向1 求向量的模
【例3－1】 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)|(a＋b)·(a－2b)|.方向2 求向量的夹角
【例3－2】 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．方向3 数量积的综合应用
【例3－3】 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．规律方法 1.求向量夹角时要注意：
(1)当已知a·b是非坐标形式时，需求得a·b及|a|，|b|或它们之间的关系；
(2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解．
(3)注意夹角的范围θ∈[0，π]．
2．对于a2＝|a|2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路. 解析 因为|a·b|＝||a|·|b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a|·|b|·|cos θ|，
当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a|·|b|，故B错．
答案 B答案 C3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________. 答案 25．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？课堂小结
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把
叫作a与b的数量积(或内积)，记作 ，即a·b＝ .
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影 的乘积，或b的长度 与a在b方向上投影 的乘积．
(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积 .|a||b|cos θ a·b |a||b|cos θ |b|cos θ |b| |a|cos θ F·s |a|cos θ a·b＝0 ≤ (5)运算律：
交换律：a·b＝ .
结合律：(λa)·b＝ ．
分配律：a·(b＋c)＝ .b·a λ(a·b)＝a·(λb) a·b＋a·c 答案 A题型一 数量积的基本概念
【例1】 下列判断：
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|
对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；
对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；对于⑦，当a与b的夹角为0°时，
也有a·b>0，因此⑦错；
对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错．
综上可知①②⑥正确．
答案 ①②⑥
规律方法 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．【训练1】 给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．
解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
答案 ④题型二 数量积的运算
【例2】 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．
解 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.规律方法 (1)向量的数量积在表示时，a与b之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．
(2)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b|和|a|.③求它们的数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.【训练2】 已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，试求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)·(a－b)；
(3)(a＋b)·(a＋b)；
(4)(a－2b)·(3a＋b)．
解 (1)a·b＝|a|·|b|·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝－7.
(3)(a＋b)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a|·|b|·cos θ＋|b|2＝13.
(4)(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2＝25.方向1 求向量的模
【例3－1】 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)|(a＋b)·(a－2b)|.方向2 求向量的夹角
【例3－2】 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．方向3 数量积的综合应用
【例3－3】 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．规律方法 1.求向量夹角时要注意：
(1)当已知a·b是非坐标形式时，需求得a·b及|a|，|b|或它们之间的关系；
(2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解．
(3)注意夹角的范围θ∈[0，π]．
2．对于a2＝|a|2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路. 解析 因为|a·b|＝||a|·|b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a|·|b|·|cos θ|，
当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a|·|b|，故B错．
答案 B答案 C3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________. 答案 25．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？课堂小结
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．