北师大版数学必修4同步教学课：第2章-6 平面向量数量积的坐标表示

课件30张PPT。§6　平面向量数量积的坐标表示内容要求　1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)．
知识点1　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
(1)数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .
x1x2＋y1y2 (2)模、夹角、垂直的坐标表示：
【预习评价】
1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是(　　)
A．34 B．27
C．－43 D．－6
解析　a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6.
答案　D 答案　C知识点2　直线的方向向量
(1)定义：与直线l 的非零向量m称为直线l的方向向量．
(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m＝ ．共线 (1，k) 【预习评价】
1．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是(　　)
A．(2，－3) B．(2,3)
C．(－3,2) D．(3,2)
答案　D
2．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为_____．
答案　x－3y＋5＝0题型一　平面向量数量积的坐标运算
【例1】　已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.规律方法　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．【训练1】　已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．
解　(1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，
2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，
a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．规律方法　利用数量积求两向量夹角的步骤【训练2】　已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值．【例3】　设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．
求a－2b的坐标和模的大小．【迁移1】　若c＝3a－(a·b)b，求|c|.【迁移2】　若ka－b与a＋b共线，求k的值．
解　∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.答案　B 答案　23．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影是________．4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．课堂小结
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.
2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.