第四章 图形的性质 第23节 等腰三角形■考点1.等腰三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为 .
■考点2.等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.【来源：21cnj*y.co*m】
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.21*cnjy*com
■考点3.角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．
■考点4.垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
■考点1.等腰三角形
◇典例：
（2018年广西桂林市中考试数学试卷）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【分析】利用三角形内角和定理和等腰三角形的判定与性质求解
解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
（2019年山东省枣庄市）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
【考点】多边形内角与外角，等腰三角形的性质
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
◆变式训练
（2019年山东省威海市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝BD，则∠ADC＝ °．
（2019年广西玉林市）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨），
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
■考点2.等边三角形
◇典例
（2018年福建省（A卷））如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】等边三角形的性质
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出∠ECB是解本题的关键。
◆变式训练
（2019年四川省宜宾市）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
■考点3.角平分线
◇典例：
（2019年浙江省湖州市）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【考点】三角形的面积的计算，角平分线的性质
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB?DH+BC?CD＝×6×4+×9×4＝30，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
◆变式训练
（2018年四川省巴中市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
■考点4.垂直平分线
◇典例：
（2019年四川省攀枝花市）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且
求证：（1）点在的垂直平分线上；（2）
【考点】等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质
【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到DE＝CE，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
证明：（1）连接
∵是边上的高
∴
∴
∵是边上的中线
∴
∴
∵
∴
∴点在线段的垂直平分线上
（2）∵
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
◆变式训练
（2019年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
（2018年广西梧州市）如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
（2019年广西梧州市）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
（2019年湖南省郴州市）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB
（2019年四川省南充市）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
（2019年四川省攀枝花市）如图,∥,,，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
（2019年四川省成都市）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
（2019年吉林省长春市）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
（2019年湖南省张家界市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（2018年黑龙江省大庆市）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
（2018年山东省德州市）如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．
（2018年江苏省南京市）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
（2019年山东省威海市）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．
（2019年贵州省毕节市）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC与点D，连结AD，若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是____________．
（2019年湖南省怀化市）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
（2019年江苏省泰州市）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
（2019年山东省德州市）如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法），
（2）请说明作图理由．
选择题
（2019年湖南省长沙市）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
（2019年广东省深圳市）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
（2018年贵州省安顺市）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A． B．
C． D．
（2018年湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
（2019年四川省绵阳市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
A．（2，） B．（，2） C．（，3） D．（3，）
（2019年山东省青岛市）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
（2019年浙江省衢州市）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
（2019年浙江省宁波市）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
（2018年广西玉林市）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
、填空题
（2019年黑龙江省绥化市）如图，在中，，点在上，且，则_____度．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．
（2019年四川省成都市）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 ．
（2019年江苏省镇江市）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝ °．
（2019年江苏省连云港市）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 ．
（2019年江苏省苏州市）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留根号)
（2019年湖北省黄冈市）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为_______．
（2019年辽宁省大连市）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为 ．
（2019年浙江省嘉兴市）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm，连接BD，则△ABD的面积最大值为 cm2．
解答题
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m，
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
（2019年江苏省无锡市）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；
求证：（1）
（2）
（2019年四川省眉山市）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE＝BE．求证：∠D＝∠C．
（2019年重庆市（a卷））如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数，
（2）求证：FB＝FE．
（2019年湖北省黄石市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠C＝∠BAD，
（2）求证：AC＝EF．
（2019年黑龙江省伊春市）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
第四章 图形的性质 第23节 等腰三角形
■考点1.等腰三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
■考点2.等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.【来源：21cnj*y.co*m】
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.21*cnjy*com
■考点3.角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
■考点4.垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
■考点1.等腰三角形
◇典例：
（2018年广西桂林市中考试数学试卷）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【分析】利用三角形内角和定理和等腰三角形的判定与性质求解
解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
（2019年山东省枣庄市）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝ 度．
【考点】多边形内角与外角，等腰三角形的性质
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．
n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
◆变式训练
（2019年山东省威海市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝BD，则∠ADC＝ °．
【考点】平行线的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形
【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则DE＝CF，由等腰直角三角形的性质得出CF＝AF＝BF＝AB，得出DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，由直角三角形的性质得出∠ABD＝30°，得出∠BAD＝∠BDA＝75°，再由平行线的性质即可得出答案．
解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图所示：
则DE＝CF，
∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CF＝AF＝BF＝AB，
∵AB＝BD，∴DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证出∠ABD＝30°是解题的关键．
（2019年广西玉林市）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°．
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨），
（2）求证：△BCD是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定与性质，作图—复杂作图
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AC于D，
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠C＝72°，再利用DA＝DB得到∠ABD＝∠A＝36°，所以∠BDC＝72°，从而可判断△BCD是等腰三角形．
（1）解：如图，点D为所作，
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
■考点2.等边三角形
◇典例
（2018年福建省（A卷））如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】等边三角形的性质
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质,求出∠ECB是解本题的关键。
◆变式训练
（2019年四川省宜宾市）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的重心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【分析】连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OBC＝∠OCB＝30°，结合条件BC＝2即可求出△OBC的面积，由∠EOF＝∠BOC，从而得到∠EOB＝∠FOC，进而可以证到△EOB≌△FOC，因而阴影部分面积等于△OBC的面积．
解：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O为△ABC的内心
∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．
∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．
∴OB＝OC．∠BOC＝120°，
∵ON⊥BC，BC＝2，
∴BN＝NC＝1，
∴ON＝tan∠OBC?BN＝×1＝，
∴S△OBC＝BC?ON＝．
∵∠EOF＝∠AOB＝120°，
∴∠EOF﹣∠BOF＝∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC．
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA）．
∴S阴影＝S△OBC＝
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
■考点3.角平分线
◇典例：
（2019年浙江省湖州市）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【考点】三角形的面积的计算，角平分线的性质
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB?DH+BC?CD＝×6×4+×9×4＝30，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
◆变式训练
（2018年四川省巴中市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
【考点】角平分线的性质；作图—复杂作图
【分析】根据作图的过程知道：EF是∠CBG的角平分线，根据角平分线的性质解答．
解：根据作图的步骤得到：EF是∠CBG的角平分线，
A、因为EF是∠CBG的角平分线，FG⊥AB，CF⊥BC，所以CF=FG，故本选项正确；
B、AF是直角△AFG的斜边，AF＞AG，故本选项错误；
C、EF是∠CBG的角平分线，但是点F不一定是AC的中点，即AF与CF不一定相等，故本选项错误；
D、当Rt△ABC是等腰直角三角形时，等式AG=FG才成立，故本选项错误；
故选：A．
【点评】考查了作图﹣﹣复杂作图和角平分线的性质，根据作图的步骤推知EF是∠CBG的角平分线，是解题的关键．
■考点4.垂直平分线
◇典例：
（2019年四川省攀枝花市）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且
求证：（1）点在的垂直平分线上；（2）
【考点】等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质
【分析】（1）连接DE，根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到DE＝CE，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
证明：（1）连接
∵是边上的高
∴
∴
∵是边上的中线
∴
∴
∵
∴
∴点在线段的垂直平分线上
（2）∵
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
◆变式训练
（2019年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【考点】三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B，
（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B，
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
（2018年广西梧州市）如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】角平分线的性质
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．
解：∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=6， 故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到 角的两边的距离相等．
（2019年广西梧州市）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．
解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
（2019年湖南省郴州市）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
解：∵由作图可知，EF垂直平分AB，
∴PA＝PB，故A选项正确，
OA＝OB，故B选项正确，
OE＝OF，故C选项错误，
PO⊥AB，故D选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
（2019年四川省南充市）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11 C．16 D．17
【考点】线段垂直平分线的性质
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11．
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
（2019年四川省攀枝花市）如图,∥,,，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】等腰三角形的性质，平行线的性质
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案．
解：∵AD＝CD，∠1＝50°，
∴∠CAD＝∠ACD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝65°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，正确得出∠ACD＝65°是解题关键．
（2019年四川省成都市）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【考点】平行线的性质，等腰直角三角形
【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ADC＝30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，即可得到∠1＝45°﹣30°＝15°．
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
（2019年吉林省长春市）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．
（2019年湖南省张家界市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】角平分线的性质
【分析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝8，DC＝AD，
∴CD＝8×＝2，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离为2．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
（2018年黑龙江省大庆市）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【考点】平行线的性质，角平分线的判定与性质
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
（2018年山东省德州市中考数学试题）如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．
【考点】角平分线的性质
【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2018年江苏省南京市）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案．
解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．
（2019年山东省威海市）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质，等腰直角三角形的性质，
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠C＝45°，由三角形的外角性质得出∠AGB＝68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
解：∵△ABC是含有45°角的直角三角板，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠1＝23°，
∴∠AGB＝∠C+∠1＝68°，
∵EF∥BD，
∴∠2＝∠AGB＝68°，
故答案为：68．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
（2019年贵州省毕节市）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC与点D，连结AD，若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是____________．
【考点】等腰三角形的判定性质，三角形内角和定理
【分析】根据作图过程得BD=BA，在根据已知条件即可得出∠DAC的角度.
解：由作图过程可知BD=BA，
∵∠B=40°，
∴∠BDA=∠BAD=(180°-∠B)=70°，
∴∠DAC=∠BDA-∠C=70°-36°=34°.
故答案为34°.
【点睛】本题考查了三角形与圆的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形与圆的应用.
（2019年湖南省怀化市）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（2019年江苏省泰州市）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年山东省德州市）如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法），
（2）请说明作图理由．
【考点】角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—复杂作图
【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图，
（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答．
解：（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等，
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
选择题
（2019年湖南省长沙市）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【考点】三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，作图—基本作图
【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．
解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
（2019年广东省深圳市）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【考点】作图-基本作图
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
（2018年贵州省安顺市）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图，线段垂直平分线
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
解：A、如图所示：此时BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
（2018年湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE+EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【考点】等腰三角形的性质，作图—基本作图
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A＝∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
解：由作法得CG⊥AB，
∵AC＝BC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝∠ACB＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
（2019年四川省绵阳市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
A．（2，） B．（，2） C．（，3） D．（3，）
【考点】含30°直角三角形，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质
【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可．
解：过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，
∴＝30°，∠FAE＝60°，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴＝2，
∴，EF＝＝＝，
∴OF＝AO﹣AF＝4﹣1＝3，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键．
（2019年山东省青岛市）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【考点】等腰三角形的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°，
∴AB＝BE，
∴AF＝EF，
∴AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，
∴∠BED＝∠BAD＝95°，
∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（2019年浙江省衢州市）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质．
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
（2019年浙江省宁波市）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【考点】平行线的性质，三角形外角性质，等腰直角三角形
【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝70°．
解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
（2018年广西玉林市）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
【考点】等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定
【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出∠ABD=∠AOB=60°，进而判断出△AOC≌△ABD，即可得出结论．
解：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
同①的方法得出OA∥BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,求出∠ABD=60°是解本题的关键
、填空题
（2019年黑龙江省绥化市）如图，在中，，点在上，且，则_____度．
【考点】等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理
【分析】设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案．
解：设∠A=x．
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x；
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x，
∴∠DBC=x；
∵x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=36°，
故答案为：36.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，通过三角形内角和定理列方程求解是正确解答本题的关键．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或
故答案为或
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
（2019年四川省成都市）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为 ．
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得△BAD≌△CAE后即可求得CE的长．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用已知和隐含条件证得三角形全等．
（2019年江苏省镇江市）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝ °．
【考点】平行线的性质，等边三角形的性质
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC＝60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
解：∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠BDC＝60°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键．
（2019年江苏省连云港市）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 ．
【考点】规律型：点的坐标，等边三角形的性质
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
（2019年江苏省苏州市）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留根号)
【考点】等腰直角三角形的性质
【分析】过顶点A作AB⊥大直角三角形底边，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面积减去小直角三角形面积即可
解：如图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边
由题意：
∴
=cm
∴小等腰直角三角形的直角边为cm
∴大等腰直角三角形面积为10×10÷2=50cm2
小等腰直角三角形面积为=36-16cm2
∴
【点睛】本题主要考查阴影部分面积的计算，涉及到直角三角形的基本性质，本题关键在于做出正确的辅助线进行计算
（2019年湖北省黄冈市）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．
【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为_______．
【考点】等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【分析】分点是顶点、点是底角顶点、在外部和在内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．
解：①如图1，点是顶点时，
，，
，
，
，
在中，；
②如图2，点是底角顶点，且在外部时，
，，
，
，
；
③如图3，点是底角顶点，且在内部时，
，，
，
，
；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于分类讨论思想的应用，是一道很好的练习题.
（2019年辽宁省大连市）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为 ．
【考点】等边三角形的性质，含30度角的直角三角形
【分析】AB＝AC＝BC＝CD，即可求出∠BAD＝90°，∠D＝30°，解直角三角形即可求得．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴AD＝＝＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ABD是含30°角的直角三角形是解题的关键．
（2019年浙江省嘉兴市）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm，连接BD，则△ABD的面积最大值为 cm2．
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的面积，轨迹
【分析】过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，由直角三角形的性质可得BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N＝D'M，即点D'在射线CD上移动，且当E'D'⊥AC时，DD'值最大，则可求点D运动的路径长，由三角形面积公式可求S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N，则E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值．
解：∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°
∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM
∴CD'平分∠ACM
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm
如图，连接BD'，AD'，
∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N
当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，
∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．
故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）
【点评】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键．
解答题
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m，
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
【考点】平行线的判定，线段垂直平分线的性质，作图﹣轴对称变换
【分析】（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．
（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
解：（1）如图①，直线m即为所求
（2）如图②，直线n即为所求
【点评】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线．
（2019年江苏省无锡市）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；
求证：（1）
（2）
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定
【分析】(1)由AB=AC可得∠ECB=∠DBC，继而根据已知条件利用SAS进行证明即可；
(2)由(1)根据全等三角形的对应角相等可得∠DCB=∠EBC，继而可得答案.
解：(1)∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在
，
∴ ；
(2)由(1) ，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
（2019年四川省眉山市）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE＝BE．求证：∠D＝∠C．
【考点】等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】由等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠DEA＝∠CEB，由SAS证明△ADE≌△BCE，即可得出结论．
证明：∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵AB∥DC，
∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA，
∴∠DEA＝∠CEB，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△BCE中，，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠D＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（2019年重庆市（a卷））如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数，
（2）求证：FB＝FE．
【考点】平行线的性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2019年湖北省黄石市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
（1）求证：∠C＝∠BAD，
（2）求证：AC＝EF．
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C＝∠BAD，
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．
证明：（1）∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠DAC＝90°
∴∠C＝∠BAD
（2）∵AF∥BC
∴∠FAE＝∠AEB
∵AB＝AE
∴∠B＝∠AEB
∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE
∴△ABC≌△EAF（ASA）
∴AC＝EF
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
（2019年黑龙江省伊春市）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形
【分析】（1）连接CF，由垂心的性质得出CF⊥AB，证出CF∥BH，由平行线的性质得出∠CBH=∠BCF，证明△BMH≌△CMF得出BH=CF，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH，由直角三角形的性质得出AD=BD，即可得出结论；
（2）同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH，再由等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
（1）证明：连接，如图①所示：
， ，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）解：图②猜想结论：；理由如下：
同（1）可证： ，
在中，，
，
；
图③猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
在中，，
，
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题关键在于作辅助线
