1.1.1 任意角:33张PPT
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课件33张PPT。§1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角内容要求 1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念(重点).3.掌握终边相同的角的表示(重、难点)．知识点1 任意角的概念
1．角的概念
角可以看成平面内__________绕着端点从一个位置_______到另一个位置所成的图形．
2．角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为__________．
终边：用OB表示，用语言可表示为__________．一条射线 旋转 起始位置 终止位置 3．角的分类
逆时针 顺时针 没有
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过1小时，时针转过30°.( )
(2)终边与始边重合的角是零角．( )
(3)小于90°的角是锐角．( )
提示 (1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°．
(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
(3)×，锐角是指大于0°且小于90°的角．知识点2 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是____________.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个_______．
【预习评价】
思考 锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示 锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．第几象限角 象限
知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 【预习评价】
与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝
－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
答案 C【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号)．
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称．题型一 与任意角有关的概念辨析
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．
答案 ②⑤ (2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________．
解析 ∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－(760°－720°)＝－40°．
答案 －40° 规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°．【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：题型二 终边相同的角的表示及应用
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S．
解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.【例3】 (1)－2 017°是第________象限角．
解析 －2 017°＝－6×360°＋143°，143°是第二象限角，所以－2017°为第二象限角．
答案 二 (2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于(－30°到135°）之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？ 解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为
{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪ {k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
课堂达标
解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
答案 D
2．－378°是第________象限角( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．
答案 D
3．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________．
解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋
(－3)×360°．
答案 144°＋(－3)×360°
4．终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________．
解析 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}．
答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}5．已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角．
2．“锐角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角为α< 90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．课堂小结
3．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．
1．角的概念
角可以看成平面内__________绕着端点从一个位置_______到另一个位置所成的图形．
2．角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为__________．
终边：用OB表示，用语言可表示为__________．一条射线 旋转 起始位置 终止位置 3．角的分类
逆时针 顺时针 没有
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过1小时，时针转过30°.( )
(2)终边与始边重合的角是零角．( )
(3)小于90°的角是锐角．( )
提示 (1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°．
(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
(3)×，锐角是指大于0°且小于90°的角．知识点2 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是____________.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个_______．
【预习评价】
思考 锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示 锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．第几象限角 象限
知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 【预习评价】
与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝
－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
答案 C【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号)．
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称．题型一 与任意角有关的概念辨析
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．
答案 ②⑤ (2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________．
解析 ∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－(760°－720°)＝－40°．
答案 －40° 规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°．【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：题型二 终边相同的角的表示及应用
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S．
解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.【例3】 (1)－2 017°是第________象限角．
解析 －2 017°＝－6×360°＋143°，143°是第二象限角，所以－2017°为第二象限角．
答案 二 (2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于(－30°到135°）之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？ 解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为
{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪ {k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
课堂达标
解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
答案 D
2．－378°是第________象限角( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．
答案 D
3．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________．
解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋
(－3)×360°．
答案 144°＋(－3)×360°
4．终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________．
解析 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}．
答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}5．已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角．
2．“锐角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角为α< 90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．课堂小结
3．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．