2.3.1 平面向量基本定理:29张PPT

课件29张PPT。§2.3　平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1　平面向量基本定理内容要求　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义(难点).2.在平面内，当选定一组基底后，会用这组基底来表示其他向量(重点).3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题(难点)．知识点1　平面向量基本定理不共线向量　λ1e1＋λ2e2　不共线　
【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　　)
(2)零向量可以作为基底．(　　)
(3)若a，b不共线，则a＋b与a－b可以作为基底．(　　)
提示　(1)×，基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底．
(2)×，由于0和任意的向量共线，故不能作为基底．
(3)√，由于a＋b和a－b不共线，故可作基底．2．特例：(1)θ＝0°，向量a，b__________ ；
(2)θ＝90°，向量a，b__________ ；
(3)θ＝180°，向量a，b__________ ．∠AOB＝θ(0°≤θ　 ≤180°)　同向　垂直　反向　 答案　120°题型一　对平面向量基本定理的理解 解析　如图所示，①③中的向量不共线可以作为基底，②④中的向量共线，不能作基底．
答案　B
(2)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________(填序号)．
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0．
解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
答案　②③
【训练1】　设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________(写出所有满足条件的序号)．
解析　对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．
答案　①②④ 规律方法　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．
(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量． 答案　A题型三　向量的夹角
【例3】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β．【训练3】　已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析　由题意可画出图形，如图所示．
在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°．
答案　90°1．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析　向量－a与－b的夹角与a和b的夹角相等，为60°．
答案　A
课堂达标2．下列关于基底的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．②
C．①③ D．②③
解析　零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．
答案　C 答案　B 答案　－15　－121．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．课堂小结
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．