2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义:32张PPT
文档属性
| 名称 | 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义:32张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-06 21:05:17 | ||
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文档简介
课件32张PPT。§2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的
物理背景及其含义内容要求 1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义(重点、难点).3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直(重点)．知识点1 平面向量的数量积及其几何意义
1．平面向量数量积的定义|a||b|cosθ a·b a·b＝|a||b|cos θ 0 2．数量积的几何意义
(1)投影的概念
b在a的方向上的投影为__________ ，a在b的方向上的投影为__________ ．
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与____________________________ 的乘积．|b|cos θ |a|cos θ b在a的方向上的投影|b|cos θ 【预习评价】
已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝________，a在b方向上的投影为________．(3)a·a＝______ 或______________ ．
(4)cos θ＝__________ ．
(5)|a·b|_______ |a||b|．a·b＝0 |a||b| －|a||b| |a|2 ≤ 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．( )
(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．( )
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．( )
提示 (1)×，当a与b的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|<0，但180°不是钝角．
(2)√，若|a·b|＝|a||b|，则|cos θ|＝1，cos θ＝±1，θ＝180°或0°，则a∥b．
(3)√，由a⊥b?a·b＝0知其正确性．知识点3 向量数量积的运算律
1．a·b＝_______ (交换律)．
2．(λa)·b＝__________ ＝__________ (结合律)．
3．(a＋b)·c＝__________ (分配律)．b·a λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c 提示 (1)×，三个向量的数量积的结合律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c．
(2)√ 由数量积的分配律可知其正确性．题型一 平面向量数量积的计算 答案 B
(2)已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
解 (2a＋3b)·(3a－2b)
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268．
规律方法 求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b．题型二 与向量模有关的问题
【训练2】 已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|．
解 方法一 ∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4，
∴a·b＝3．
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4．
方法二 ∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20．
又|a－b|＝2，
∴|a＋b|2＝16，
∴|a＋b|＝4.方向1 求两个向量的夹角
【例3-1】 设n和m是两个单位向量，其夹角是 ，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 答案 B 规律方法 求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤：
(2)注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．【训练3】 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角．1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A．|a|2＝a2 B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|
解析 选项B中，|a·b|＝|a||b||cos θ|，其中θ为a与b的夹角．
答案 B课堂达标 答案 B5．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉c是一个与c共线的向量，而a·(b·c)＝a·|b|·|c|cos〈b，c〉是一个与a共线的向量，两者一般不同．课堂小结
2.4.1 平面向量数量积的
物理背景及其含义内容要求 1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义(重点、难点).3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直(重点)．知识点1 平面向量的数量积及其几何意义
1．平面向量数量积的定义|a||b|cosθ a·b a·b＝|a||b|cos θ 0 2．数量积的几何意义
(1)投影的概念
b在a的方向上的投影为__________ ，a在b的方向上的投影为__________ ．
(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与____________________________ 的乘积．|b|cos θ |a|cos θ b在a的方向上的投影|b|cos θ 【预习评价】
已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝________，a在b方向上的投影为________．(3)a·a＝______ 或______________ ．
(4)cos θ＝__________ ．
(5)|a·b|_______ |a||b|．a·b＝0 |a||b| －|a||b| |a|2 ≤ 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．( )
(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．( )
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．( )
提示 (1)×，当a与b的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|<0，但180°不是钝角．
(2)√，若|a·b|＝|a||b|，则|cos θ|＝1，cos θ＝±1，θ＝180°或0°，则a∥b．
(3)√，由a⊥b?a·b＝0知其正确性．知识点3 向量数量积的运算律
1．a·b＝_______ (交换律)．
2．(λa)·b＝__________ ＝__________ (结合律)．
3．(a＋b)·c＝__________ (分配律)．b·a λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c 提示 (1)×，三个向量的数量积的结合律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c．
(2)√ 由数量积的分配律可知其正确性．题型一 平面向量数量积的计算 答案 B
(2)已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
解 (2a＋3b)·(3a－2b)
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268．
规律方法 求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b．题型二 与向量模有关的问题
【训练2】 已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|．
解 方法一 ∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4，
∴a·b＝3．
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4．
方法二 ∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20．
又|a－b|＝2，
∴|a＋b|2＝16，
∴|a＋b|＝4.方向1 求两个向量的夹角
【例3-1】 设n和m是两个单位向量，其夹角是 ，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 答案 B 规律方法 求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤：
(2)注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．【训练3】 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角．1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A．|a|2＝a2 B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|
解析 选项B中，|a·b|＝|a||b||cos θ|，其中θ为a与b的夹角．
答案 B课堂达标 答案 B5．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉c是一个与c共线的向量，而a·(b·c)＝a·|b|·|c|cos〈b，c〉是一个与a共线的向量，两者一般不同．课堂小结