1.1.2 余弦定理:30张PPT

课件30张PPT。1.1.2　余弦定理一、余弦定理
【问题思考】
1.填空:2.在△ABC中,如果三边a,b,c满足a2+b2=c2-ab,你能确定该三角形的哪些元素?
提示:由余弦定理可知 ,得∠C=120°,
因此可确定角C,且∠C=120°.3.做一做:在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=- ,则b=　　　　　.?
答案:4一二三一二三二、余弦定理的应用
【问题思考】
1.填空:
(1)利用余弦定理判断三角形的形状
由余弦定理,知当边c为最大边时,
如果c2=a2+b2,那么△ABC为直角三角形;
如果c2如果c2>a2+b2,那么△ABC为钝角三角形.
(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题
①已知三边,求三个角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;
③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时,也可用余弦定理,如已知a,b,∠A,可先用余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,求出c,此时c的个数即为三角形解的个数.?一二三2.在△ABC中,若三边满足a2+b2-c2>0,你能得出什么结论?
提示:由a2+b2-c2>0可知cos C>0,得∠C为锐角.但此时我们并不能说该三角形为锐角三角形,还要结合其他角来综合判断.
3.做一做:在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcos C,则此三角形一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
解析:∵a=2bcos C,
∴由余弦定理得a=2b· ,
整理得b2=c2,∴b=c.
∴此三角形一定是等腰三角形.
答案:C一二三三、三角形的面积公式
【问题思考】
1.填空:一二三2.已知三角形的周长为12,面积为6,你能得出该三角形的内切圆半径吗?一二三思考辨析 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)× 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测余弦定理的简单应用
【例1】 在△ABC中:?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)由余弦定理,得AB2=BC2+AC2-2AC·BCcos C,
可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去).探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.余弦定理主要解决两类三角形问题:一类是已知三角形的三条边,求任意角;二是已知两边及其夹角,求第三边.有时在使用公式中也要结合三角形内角和为180°和正弦定理综合考虑.
2.对于本例中第(3)小题,根据已知条件,设出三边长,由余弦定理求出∠A,进而求出其余两角.另外也可先由边长关系,判断出∠C为直角,再求角.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测若例1(2)中条件不变,如何求最小角的余弦值?解:显然角A最小.由余弦定理得, 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测判断三角形形状
【例2】 已知△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试判断△ABC的形状.
思路分析:本题考查正、余弦定理的应用,可以利用正、余弦定理化边为角或化角为边来判断.
解:解法一:(利用边的关系判断)∴c2=b2+c2-a2,∴a2=b2,∴a=b.
∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
∴(a+b)2-c2=3ab.∵a=b,∴4b2-c2=3b2,
∴b2=c2,∴b=c,∴△ABC为等边三角形.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解法二:(利用角的关系判断)
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴sin C=sin(A+B).
∵2cos Asin B=sin C,
∴2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
∴sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0.
∵0°<∠A<180°,0°<∠B<180°,
∴-180°<∠A-∠B<180°,
∴∠A-∠B=0°,即∠A=∠B.
∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴(a+b)2-c2=3ab,
∴a2+b2-c2=ab.∵c2=a2+b2-2abcos C,
∴cos C= ,∴∠C=60°,
∴△ABC为等边三角形.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟对于本题而言,解法一主要利用正、余弦定理寻找边之间的关系;而解法二主要是从角的方面进行考虑的,这其中要用到三角恒等变换公式及余弦定理的推论公式.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1(1)在△ABC中,若 ,则△ABC的形状为　　　　　.?
(2)在△ABC中,若2∠B=∠A+∠C,b2=ac,则△ABC的形状为　　　　　.?∴a-b+c=b-a+c,
∴a=b,即△ABC为等腰三角形.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)∵2∠B=∠A+∠C,
又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=60°.
又b2=ac,由余弦定理可得
b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac,
∴a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,
∴a=c,可知△ABC为等边三角形.
答案:(1)等腰三角形　(2)等边三角形探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测三角形的面积问题
【例3】 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
(1)求△ABC的面积;
(2)若b+c=6,求a的值.(2)利用余弦定理列式并充分与b+c=6联立求解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟求三角形的面积一定要结合已知条件,选择合适的公式,一般常用的是已知两边及其夹角求面积公式,但如果是直角三角形要特殊对待.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测正、余弦定理的综合应用 思路分析:本题考查利用正、余弦定理解三角形.(1)由已知条件用正弦定理替换变形,找到a,b的关系;(2)用余弦定理求cos B的值,进而求∠B.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所要求的量,正弦定理尤其在边角转化方面功能显著.余弦定理的使用要注意选择好“第三边”,这样才能列出有效的方程,再者要熟练掌握三角变换公式,这在解三角形中经常用到.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测纠错心得用正弦定理或余弦定理解三角形,一定要注意三角形中的约束条件,有些约束条件是三角形固有的,有些约束条件是题目给出的,因此要特别注意这些细节.本例中的错解就是因为没有注意到题干中给出的b>a这一信息而造成的.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解析:由三角形的性质,知c-b1. 答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.在△ABC中,已知三边a,b,c满足(a+b+c)·(a+b-c)=3ab,则∠C等于(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
答案:D
2.在△ABC中,bcos A=acos B,则三角形的形状为(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析:已知等式中有边也有角,故可用下列两种方法来解:①将边化为角,即先将a=2Rsin A,b=2Rsin B代入,再进行三角恒等变换即可.②将角化为边,即由余弦定理将cos A,cos B的式子代入化简即可.
答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,则b=　　　　.?答案:4 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)由已知得∠PBC=60°,
所以∠PBA=30°.