2.1.2 数列的递推公式(选学):19张PPT

课件19张PPT。2.1.2　数列的递推公式(选学)一二一、数列的递推公式
【问题思考】
1.填空:
如果已知数列的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
2.所有的数列都有递推公式吗?
提示:递推公式也是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.
3.做一做:已知数列{an}的首项a1=1,且an=3an-1+1(n≥2),则a4为(　　)
A.13 B.15 C.30 D.40
答案:D一二二、通项公式与递推公式的区别与联系
【问题思考】 一二思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)所有的数列都有递推公式. (　　)
(2)如果数列{an}满足 ,且a1>0,那么数列{an}是递增数列. (　　)
(3)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,且an=an-1-an-2(n≥3),则一定有a2 017=a1. (　　)
(4)数列2,4,6,8,10,…的递推公式可以表示为an+1-an=2(n∈N+). (　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×探究一探究二思维辨析当堂检测由递推公式写出数列的项
【例1】 已知数列{an}的第一项是2,且an= (n≥2),写出这个数列的前5项,你能说出这个数列有什么特点吗?
思路分析:根据数列的第一项和递推公式,可依次求出a2,a3,a4,a5,然后再观察数列的特点.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟由递推公式写出数列的项的方法
1.根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,然后依次代入计算即可.
2.解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.
3.若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.探究一探究二思维辨析当堂检测由递推公式求通项公式
【例2】 (1)已知a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的通项公式;
(2)已知a1=1,an+1=2an,求数列{an}的通项公式.
思路分析:递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.
(1)解法一:(累加法)∵a1=1,an+1-an=2,
∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).
又a1=1,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.
法二:(迭代法)an=an-1+1×2=an-2+2×2=…=a1+(n-1)×2=2n-1.探究一探究二思维辨析当堂检测又a1=1=20,
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.
法二:(迭代法)an=2an-1=22an-2=23an-3=…=2n-1·a1=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟1.归纳法
一般是根据递推公式先写出前几项,然后进行归纳猜想n与an间的内在规律,但此方法不严密,有时易发生错误.
2.累加法
当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项公式an.
3.累乘法
如果递推关系可以变形为an+1=g(n)·an的形式,且g(n)能够求积,则可用累乘法求数列的通项公式.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测因没有对归纳的结论进行论证而致误
【典例】 数列{an}满足a1=1,以后各项由an+1=an+2(2n3-12n2+22n-11)给出,写出这个数列的前4项,并写出其通项公式.错解a1=1,a2=3,a3=5,a4=7.
由此猜想,这个数列是正奇数从小到大排成的,
故an=2n-1.探究一探究二思维辨析当堂检测正解a2=a1+2(2×13-12×12+22×1-11),
a3=a2+2(2×23-12×22+22×2-11),
a4=a3+2(2×33-12×32+22×3-11),
……
an=an-1+2[2(n-1)3-12(n-1)2+22(n-1)-11],
以上所有式子相加得an=n4-10n3+35n2-48n+23.
纠错心得根据数列的递推公式求通项公式,可以先通过求出数列的前n项,再进行归纳猜想得出数列的通项公式,但这种方法虽然操作简单,但所得结论有失严谨,极易产生错误结论,本例中的错解便是例证.解决此类问题,若从根本上解决问题,只能从递推公式出发,推导出其等价的结构形式.以上的累加法就是求通项公式的一种常用方法.探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测1.下列说法错误的是(　　)
A.递推公式也是数列的一种表示方法
B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式
C.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式
D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式
解析:通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列,它也是给出数列的一种方法.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.
答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),
∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
答案:C
3.一个数列{an}满足a1=1,a2=2,从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项,请写出构成这个数列的递推公式an=　　　　　　　　.?
解析:这个数列给出的方法是不同的,它是由前后项之间的关系确定的,只需要根据已知条件就可以直接列出关系式,要注意n的取值范围.
答案:2an-1+an+1(n≥2)探究一探究二思维辨析当堂检测∵a1=2,∴an=2+ln n.
∵a1=2+ln 1=2,
∴{an}的通项公式为2+ln n.
答案:2+ln n探究一探究二思维辨析当堂检测5.已知数列{an}分别满足下列条件,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.
(1)a1=0,an+1=an+(2n-1);
解:(1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1),
∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,
a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,
a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,
a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.
故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.探究一探究二思维辨析当堂检测