2.2.1 等差数列:25张PPT

课件25张PPT。2.2.1　等差数列一二三一、等差数列的概念
【问题思考】
1.填空:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母d 表示.
2.如何用定义来判断或证明数列{an}为等差数列?
提示:定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤:
(1)作差an+1-an,将差变形;
(2)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.四一二三二、等差数列的通项公式
【问题思考】
1.填空:如果一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d .
知识拓展1.等差数列通项公式的其他形式.
(1)an=am+(n-m)d;(2)an=an+b(a,b是常数).
2.等差数列的判断方法.
(1)定义法:an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d?数列{an}是等差数列;
(2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2)?数列{an}为等差数列;
(3)通项公式法:an=an+b?数列{an}是以a1=a+b为首项,以a为公差的等差数列.
2.要确定一个等差数列的通项公式,需要知道几个独立的条件?
提示:因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d,所以要确定一个等差数列的通项公式,需要知道两个独立的条件.四一二三四三、等差中项
【问题思考】
1.填空:
如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.x,A,y是等差数列的充要条件是2A=x+y .提示:∵x,A,y成等差数列,∴A-x=y-A, 答案:A 四、等差数列的性质
【问题思考】
1.填空:
若数列{an}是公差为d的等差数列,
(1)当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.一二三四一二三四(5)若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=….
(6)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.
(7)下标成等差数列,且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列.
(8)若数列{bn}也为等差数列,则{an±bn}也成等差数列.一二三四2.做一做:(1)在等差数列{an}中,a2+a8=12,则a5等于　　　　　.?
(2)在等差数列{an}中,若a5+a9=13,a2=7,则a12等于　　　　　.?
答案:(1)6　(2)6一二三四思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)若一个数列每一项与前一项的差都是常数,则该数列为等差数列. (　　)
(2)数列an=3n+1的递推公式可以写成a1=4,a2=7,2an=an-1+an+1 (n≥2). (　　)
(3)在等差数列{an}中,若有am+an=ap+aq,则一定有m+n=p+q成立. (　　)
(4)决定一个等差数列是递增数列的条件是首项a1>0,且公差d>0. (　　)
(5)等差数列的通项公式an=f(n)一定为关于n的一次函数. (　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测等差数列的判定或证明
【例1】 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,在数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是不是等差数列?
思路分析:可以利用a1和d写出bn的通项公式,也可以直接利用定义判断bn+1-bn是不是常数.
解法一:由题意可知an=a1+(n-1)d(a1,d为常数),
则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.
由于bn是关于n的一次函数(或常函数,当d=0时),
故{bn}是等差数列.
法二:根据题意,知bn+1=3an+1+4,
则bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常数).
由等差数列的定义知,数列{bn}是等差数列.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1若数列{an}的通项公式为an=10+lg 2n,试证明数列{an}为等差数列.
证明:∵an=10+lg 2n=10+nlg 2,
∴an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N+),
∴数列{an}为首项a1=10+lg 2,公差为lg 2的等差数列.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测等差数列的通项公式及应用
【例2】 在等差数列{an}中,已知a4=70,a21=-100,求出数列的首项a1与公差d,并写出通项公式.
解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,解得a1=100,d=-10,
所以通项公式an=100-10(n-1)=-10n+110.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟1.等差数列通项公式的求法
(1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d.
(2)等差数列通项公式的另两种形式:
①an=am+(n-m)d;
②an=pn+q(p,q是常数).
2.方程思想的应用
等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个字母,当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出这四个字母中的任何一个.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.若本例中条件不变,问{an}中有多少项属于区间[-18,18]?
解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,所以an=-10n+110,令-18≤-10n+110≤18.
解得9.2≤n≤12.8.
又因为n∈N+,所以n=10,11,12,
即属于区间[-18,18]的项有3项,它们是a10,a11,a12.
2.若将本例中“a21=-100”改为“a19=100”,其他条件不变,结果如何?
解:根据题意,设an=a1+(n-1)d,所以通项公式an=64+2(n-1)=2n+62. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测等差数列性质的应用
【例3】 (1)在等差数列{an}中,已知a1,a2 018为方程x2-10x+21=0的两根,则a2+a2 017等于(　　)
A.10 B.15 C.20 D.40
(2)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=　　　　　.?
解析:(1)根据韦达定理及等差数列的性质可得a
2+a2 017=a1+a2 018=10.
(2)因为数列{an}是等差数列,
所以由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,
所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.
答案:(1)A　(2)20
反思感悟等差数列有很多条性质,但常用的主要有两条:若{an}为等差数列,则(1)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时,总有am+an=ap+aq;(2)当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,总有am+an=2ak.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练2设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　　.?
解析:因为{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,
即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,
所以a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.
答案:35探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测构造等差数列求通项公式 思路分析:若利用题中所给关系的结构特征,构造等差数列,利用所构造的等差数列求an.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟一般给出数列的递推公式求通项公式时,要根据递推公式的结构特点灵活地应用“平方法”“开方法”“取倒数法”等,往往会构造出一个新数列满足等差数列的条件.从而利用新数列的通项公式,间接求出所求数列的通项公式.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练3已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2n+1(n≥2,n∈N+),则数列{an}的通项公式为　　　　　.?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测因未考虑到角标的不一致性而致误
【典例】 已知两个等差数列{an}:5,8,11,…与{bn}:3,7,11,…,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?
错解已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为an=3n+2,bn=4n-1(1≤n≤100).令an=bn,得3n+2=4n-1,即n=3.所以两数列只有1个数值相同的项,即第3项.
正解因为an=3n+2(n∈N+),bk=4k-1(k∈N+),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得,所以n= k-1.而n∈N+,k∈N+,所以可设k=3r(r∈N+),得n=4r-1.可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测纠错心得判断两个等差数列中具有相同数值的项,一般转化为方程的整数解问题,但要注意,数值相同的项的序号不一定相同,因此方程中需要引入两个互不干扰的未知数才行.对于本题而言,数值相同的项,它们的项的序号并不一定相同.例如23在数列{an}中是第7项,而在数列{bn}中是第6项,我们也说它是两个数列中数值相同的项,也就是说,在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过,而并不关心它是这两个数列中的第几项.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　)
A.2 B.3 C.6 D.9答案:B
2.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8的值为(　　)
A.24 B.22 C.20 D.-8
答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=　　　　.?
解析:在等差数列{an}中,a3=7,a5-a2=6,
∴3d=6.
∴a6=a3+3d=7+6=13.
答案:13
4.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=　　　　　.?探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测证明:∵a2,b2,c2成等差数列,
∴2b2=a2+c2.