2.2.2 等差数列的前n项和:34张PPT

课件34张PPT。2.2.2　等差数列的前n项和一二三一、等差数列的前n项和公式
【问题思考】
1.填空:2.如何选用上述两个公式进行求和? 四一二三四3.做一做:(1)在等差数列{an}中,已知a1=-1,a10=11,则S10等于(　　)
A.30 B.40 C.50 D.60
(2)已知等差数列{an}中,a1=-5,d=3,则S8=(　　)
A.44 B.40 C.15 D.5
答案:(1)C　(2)A一二三四二、等差数列的前n项和公式与函数的关系
【问题思考】
1.填空:因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值.一二三四2.从函数的角度认识等差数列的前n项和,你有何新发现?一二三四3.做一做:在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围为　　　　　.?
解析:由题意知当d<0时,Sn存在最大值,
∵a1=7>0,
∴数列{an}中所有非负项的和最大.
又当且仅当n=8时,Sn取最大值,一二三四三、等差数列前n项和的性质
【问题思考】
1.填空:
等差数列的依次连续每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…成等差数列.解法一:利用等差数列的性质, 一二三四四、有关等差数列中奇数项和、偶数项和的问题
【问题思考】
1.填空:一二三四一二三四2.做一做:一个等差数列前20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2,则公差d等于　　　　　.?一二三四思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)公式an=Sn-Sn-1对任意的n∈N+均成立. (　　)
(2)等差数列的前n项和一定是关于n的二次函数. (　　)
(3)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列 为等差数列. (　　)
(4)在等差数列{an}中,若a1<0,d>0,则该数列的前n项和存在最大值. (　　)
(5)若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c,则该数列一定不是等差数列. (　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列的前n项和公式的直接应用
【例1】 在等差数列{an}中,
(1)已知a10=30,a20=50,Sn=242,求n;
(2)已知S8=24,S12=84,求a1和d;
(3)已知a6=20,S5=10,求a8和S8;
(4)已知a16=3,求S31.
思路分析:在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,d,n,Sn,只要已知任意三个量,就可以求出其他两个量.探究一探究二探究三一题多解当堂检测探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练1设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=　　　　.?
解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,答案:54 探究一探究二探究三一题多解当堂检测Sn与an的关系问题
【例2】 (1)若数列{an}的前n项和Sn=n2-1,则a4= (　　)
A.7 B.8 C.9 D.17
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n,则数列{an}的通项公式为　　　　　.?
(3)已知{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,Sn= an,则{an}的通项公式为　　　　　.?
解析:(1)a4=S4-S3=(42-1)-(32-1)=7.
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=3n2+5n-[3(n-1)2+5(n-1)]
=6n+2,
当n=1时,a1=S1=8适合上式,
所以an=6n+2.(n∈N+)探究一探究二探究三一题多解当堂检测(3)由已知2Sn=(n+1)an,
∴2Sn-1=nan-1(n≥2),
两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1,
即(n-1)an=nan-1,以上各式相乘可得an=na1=n(n≥2).
又a1=1也适合上式,∴an=n(n∈N+).
答案:(1)A　(2)an=6n+2(n∈N+)　(3)an=n(n∈N+)探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟1.如果知道了数列{an}的前n项和Sn,可由公式

来求解{an}的通项公式,求解时注意要分类讨论,对n=1的情况进行验证,能写成统一的形式就将a1合进来,否则保留分段函数形式.
2.如果给出的已知条件是含有Sn与an的递推关系,也往往利用Sn-Sn-1=an(n≥2)来转化.探究一探究二探究三一题多解当堂检测1.将本例2(2)中的“Sn=3n2+5n”改为“Sn=3n2+5n-2”结果又如何?
解析:当n=1时,a1=S1=6.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2+5n-2)-[3(n-1)2+5(n-1)-2]=6n+2.
当n=1时,a1=6不适合an=6n+2.探究一探究二探究三一题多解当堂检测探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列前n项和的性质的应用
【例3】 (1)等差数列{an}中共有3m项,前2m项的和为100,后2m项的和为200,求中间m项的和.
(2)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
思路分析:(1)本题考查等差数列前n项和的性质及前n项和公式的应用.(2)已知等差数列的奇、偶数项的和,求特殊项与项数,可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系.探究一探究二探究三一题多解当堂检测解:(1)法一:由已知得 探究一探究二探究三一题多解当堂检测(2)设等差数列{an}共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即an+1.∴2n+1=7.
又S奇=(n+1)·an+1=44,∴an+1=11.
故这个数列的中间项为11,共有7项.探究一探究二探究三一题多解当堂检测反思感悟等差数列前n项和的性质主要有以下两类:
(1)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列;
(2)在等差数列{an}中,①若项数为2n+1(n∈N+),则 ,其中S奇=(n+1)an+1,S偶=n·an+1;②若数列项数为2n(n∈N+),则S偶-S奇=nd.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练2(1)已知某等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(　　)
A.130 B.170 C.210 D.260(2)令m=1,则Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100,
则有a1=30,a2=70,d=40,则a3=110,
故S3m=S3=S2+a3=100+110=210.
答案:(1)C　(2)C探究一探究二探究三一题多解当堂检测等差数列前n项和的最值问题
【典例】 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
名师点拨本题可用二次函数求最值或由通项公式求n,使an≥0,an+1<0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项.
解法一:由S17=S9,得探究一探究二探究三一题多解当堂检测∴当n=13时,Sn有最大值169.
法三:先求出d=-2(同法一).
由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,
又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.
故n=13时,Sn有最大值169.探究一探究二探究三一题多解当堂检测探究一探究二探究三一题多解当堂检测方法点睛解等差数列的前n项和最大(最小)值问题的常用方法有:
(1)二次函数法:由于 是关于n的二次式,因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值,但要注意这里的n∈N+.
(2)图象法:可利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使Sn达到最大(或最小).
(3)通项法:由于Sn=Sn-1+an,所以当an≥0时,Sn≥Sn-1;当an≤0时,Sn≤Sn-1,因此当a1>0,且d<0时,使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;当a1<0,d>0时,满足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.探究一探究二探究三一题多解当堂检测变式训练等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使{an}的前n项和Sn最大,n的值为(　　)
A.5 B.6 C.5或6 D.6或7
解析:由已知得a3>0,a9<0,因此|a3|=|a9|可化为a3+a9=0,即a6=0, ∴S5=S6,故使{an}的前n项和Sn最大,n的值为5或6.
答案:C探究一探究二探究三一题多解当堂检测1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值为(　　)
A.55 B.95 C.100 D.不能确定
答案:B
2.在等差数列{an}中,a9= a12+6,则数列{an}的前11项和S11=(　　)
A.24 B.48 C.66 D.132
解析:由a9= a12+6,得2a9-a12=12.
由等差数列的性质得,a6+a12-a12=12,a6=12,答案:D 探究一探究二探究三一题多解当堂检测3.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则(　　)
A.S4C.S6解析:法一:设该等差数列的首项为a1,公差为d,从而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.从而有S4=S5.
法二:由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0,所以a5=0,从而有S4=S5.
答案:B探究一探究二探究三一题多解当堂检测4.设数列{an}的前n项和为Sn=2-2·3n,则通项公式an=　　　　.?
解析:当n=1时,a1=S1=2-2×31=-4.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2-2·3n)-(2-2·3n-1)=-4·3n-1.
此时对n=1,有a1=-4×31-1=-4,也适合an=-4·3n-1.
综上,对n∈N+,an=-4·3n-1.
答案:-4·3n-1
5.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n.
解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,