2.3.1 等比数列:27张PPT

课件27张PPT。2.3.1　等比数列一二三四一、等比数列的定义
【问题思考】
1.填空:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.定义表达式为_______________.提示:①是首项为-1,公比为2的等比数列;②是首项为1,公比为
的等比数列;若常数列的各项不为零,则它也是等比数列,所以③是等比数列;④中a的值不确定,当a=0时,这四个数不能构成等比数列.一二三四深刻剖析1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0.
2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒.
3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与前一项的比都是同一个常数,那么此数列不是等比数列,这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比数列.
4.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比虽然是一个与n无关的常数,但却是不同的常数,这时此数列不是等比数列.一二三四二、等比数列的通项公式
【问题思考】
1.填空:
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1.其中,a1,q均不为0.
2.在等比数列{an}中,你会用第m项am与公比q来表达{an}的通项公式吗?
提示:设{an}的首项为a1,则am=a1·qm-1,①
an=a1qn-1,②一二三四一二三四三、等比中项
【问题思考】 2.如果a,G,b三个数满足G2=ab,你能说a,G,b成等比数列吗?
提示:不能.若ab>0,则G是a,b的等比中项,a,G,b构成等比数列;若ab=0,则a,G,b不能构成等比数列.一二三四答案:C 一二三四四、等比数列的主要性质
【问题思考】
1.填空:
若数列{an}为等比数列,首项为a1,公比为q,则有如下结论:
(1)两个等比数列的积仍为等比数列.
(2)在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则有aman=apaq;若m+n=2k(m,n,k∈N+),则
(3)数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积.
(4)在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为qk+1.一二三四(5)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时,数列{lg an}是公差为lg q的等差数列.
(6)当m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列时,am,an,ap成等比数列.一二三四2.做一做:已知{an}为等比数列,且an>0.若a5a7+2a6a8+a7a9=49,则a6+a8=　　　　　.?答案:7 一二三四思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)等比数列的公比可以为正数、负数或零. (　　)
(2)常数列是等差数列,同时也是公比为1的等比数列. (　　)
(3)若等比数列的首项a1>0,且公比|q|<1,则该数列为递减数列. (　　)
(4)在等比数列{an}中,若am·an=ap·aq,则一定有m+n=p+q成立. (　　)
(5)数列{an}的前n项和记为Sn,且Sn=2n-3,则数列{an}不是等比数列. (　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列的判定或证明 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟判定或证明一个数列是不是等比数列的方法通项公式法:若数列的通项公式可写成an=cqn(c,q均为不等于0的常数,n∈N+),则数列{an}是等比数列.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:①不符合“同一”,故不是等比数列.
②不一定是等比数列,当{an}只有3项时,{an}是等比数列;当{an}的项数超过3项时,不一定符合“每一”.
③不一定.若常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列.当常数列各项不为0时,是等比数列.
④等比数列的定义用式子的形式表示出来就是:在数列{an}中,对任意n∈N+,有 ,则{an}是等比数列.
答案:④探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列的通项公式及应用
【例2】 在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an;
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
思路分析:先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组,求出a1和q,再表示其他量.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测将本例2(1)中的条件“a4=2,a7=8”改为“a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列”结论又如何?
解:设等比数列{an}的公比为q,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列性质的应用
【例3】等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10= (　　)
A.12 B.10 C.8 D.2+log35
解析:由题意可知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,得a5a6=a4a7=9,
而log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·…·a10)=
=log395=log3310=10.
答案:B
反思感悟1.若{an}是等比数列,m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
2.若{an}是等比数列,m,n,k∈N+,且m+n=2k,则am·an=探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:∵a1a2a3=5,a7a8a9=10,且{an}是各项均为正数的等比数列,答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因忽视等比数列中项的符号而致误
【典例】 在等比数列{an}中,若a3a4a6a7=81,则a1a9的值为(　　)
A.3 B.9 C.±3 D.±9
错解∵{an}为等比数列,∴a3a7=a4a6=a1a9.
∴(a1a9)2=81.∴a1a9=±9.故选D.
正解∵a3a7=a4a6=a1a9,∴(a1a9)2=81.
∴a1a9=±9.∵在等比数列{an}中,奇数项(或偶数项)的符号相同,∴a1,a9同号,∴a1a9=9,故选B.
答案:B
纠错心得对于等比数列来说从第二项起每一项都可以看作它的前一项和后一项的等比中项,由等比中项的概念可知,等比数列的奇数项符号一致,偶数项符号也一致,这一特征能帮助我们在处理等比数列相关问题中对结论进行检验取舍,因此要树立检验的意识.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.给出下列命题:①若 ,则-a,b,-c成等比数列(abc≠0);②若b2=ac,则a,b,c成等比数列;③若an+1=anq(q为常数),则{an}是等比数列.其中正确的命题有 (　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:①显然正确;②中当abc=0时不成立;③中当q=0时不成立.故选B.
答案:B
2.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(　　)
A.-24 B.0 C.12 D.24
解析:由题意得:(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1.当x=-1时, 3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项分别为-3,-6,-12,故第四项为-24.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若2a,b,2c成等比数列,则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.0或2
解析:由题意,得b2=4ac,令ax2+bx+c=0,
∴Δ=b2-4ac=0,故函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相切,故选B.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为　　　　　.?
解析:∵an+1=3Sn,①
∴an=3Sn-1.②探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.(2017河北邢台高二检测)在等比数列{an}中,a3a9=1,a1a5+a8a10=8,则a3+a9等于　　　　　.?6.已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3.
(1)求证:{an+3}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.