2.3.2 等比数列的前n项和:29张PPT

课件29张PPT。2.3.2　等比数列的前n项和一二一、等比数列的前n项和公式
【问题思考】
1.填空:2.利用等比数列求和公式求和时需注意什么?
提示:(1)在求等比数列{an}的前n项和公式时,应分q=1和q≠1两种情况,若题目中没有指明,切不可忘记对q=1这一情形的讨论.
(2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量,即a1,an,q,n,Sn,通常已知其中三个量可求另外两个量,这一方法简称为“知三求二”.一二3.做一做:在等比数列{an}中,若q=-2,S5=44,则a1的值为(　　)
A.4 B.-4 C.2 D.-2答案:A 一二二、等比数列前n项和的常用性质
【问题思考】
1.填空:
性质(1):在等比数列{an}中,若项数为2n项,公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q.
性质(2):数列{an}是公比为q的等比数列,则Sm+n=Sn+qn·Sm.
2.在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则依次每k项的和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…一定构成等比数列吗?
提示:不一定.若{an}的公比q≠-1,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…能构成等比数列,其公比为qk;若{an}的公比q=-1,k为偶数,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不能构成等比数列.一二3.做一做:各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2, S3n=14,则S4n等于(　　)
A.80 B.30 C.26 D.16
解析:若q=1,由Sn=na1=2,知S3n=3na1=6≠14,答案:B 一二思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn=2·3n-1,则数列{an}是等比数列. (　　)
(2)已知{an}是等比数列,Sn为其前n项和,则S10,S20,S30,…构成一个新的等比数列. (　　)
(3)已知数列{an}是等比数列,则{an+k}(k为常数)也为等比数列. (　　)
(4)一个等比数列{an}的前n项和为Sn,则{Sn}一定不能构成等比数列. (　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列前n项和公式的应用
【例1】 在等比数列{an}中,
(1)已知a1=3,q=2,求a6,S6;
(2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4;
(3)已知 ,求a1,q.
思路分析:在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,q,n,Sn,只要已知任意三个,就可以求出其他两个.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)a6=a1q5=3×25=96. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素;有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)利用等比数列的有关性质;(3)注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测等比数列前n项和性质的应用
【例2】 (1)已知一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比q=　　　　　,项数n=　　　　　.?
(2)在等比数列{an}中,若前10项的和S10=10,前20项的和S20=30,则前30项的和S30=　　　　　.?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:(1)法一:设该等比数列的公比为q,项数为2n,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:(1)2　8　(2)70 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:设等比数列{an}的公比为q, 答案:A 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测特殊数列的求和
【例3】已知数列{an}的通项公式an=n·2n,求该数列的前n项和Sn.
思路分析:写出数列的前n项和,注意其与等比数列形式类似,考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前n项和.
解:∵Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
∴-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
∴Sn=n·2n+1-(2+22+23+…+2n)探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.
2.错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项和.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn.
解:Sn=a1+a2+a3+…+an
=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n)
=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n)探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因忽视对项数n的分类讨论而致误 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正解(1)当n为奇数时, 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.等比数列的前n项和Sn=k·3n+1,则k的值为(　　)
A.全体实数 B.-1 C.1 D.3
解析:当n=1时,a1=S1=3k+1;
答案:B答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100) =(0+2+4+…+98)+(2+4+…+100)=49×50+51×50=5 000.
答案:5 000探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.数列{(2n-1)·4n-1}的前n项和为　　　　　.? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测6.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.