3.3 一元二次不等式及其解法:33张PPT

课件33张PPT。3.3　一元二次不等式及其解法一二三一、一元二次不等式的概念
【问题思考】
1.填空:
形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.用文字表述为:一般地,含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.一二三2.下列不等式中,哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)?
(1)ax2>0;
(2)x3+5x-6≥0;
(3)-x-x2≤0;
(4)x2>0;
(5)mx2-5y>0;
(6)ax2+bx+c≤0;一二三提示: 一二三二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系
【问题思考】
1.填空:
设f(x)=ax2+bx+c(a>0)一二三2.如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,你能得出什么结论?如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为?,结论又如何?
提示:(1)如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,一二三A.{x|x<-4或x>3} B.{x|-4C.{x|x≤-4或x≥3} D.{x|-4≤x≤3}
解析:要使函数有意义,只需x2+x-12≥0.
方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且与x轴有两个交点(-4,0),(3,0).
故原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥3}.
答案:C一二三三、用程序框图描述求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的算法过程
【问题思考】
填空:一二三思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)不等式x2-y2>0表示一个一元二次不等式. (　　)
(2)若一元二次不等式ax2+2x+1<0的解集为R,则只需满足Δ<0. (　　)
(3)不等式(x+9)(x-10)≥0与 的解集是等价的. (　　)
(4)“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”可等价转化为“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”来解决. (　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测一元二次不等式的概念
【例1】 ①x2+x+1<0,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+1>0,④mx2-5x+1>0,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c>0(m,a∈R).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是　　　　　.(请把正确的序号都填上)?
解析:①②是;③不是;④不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,尽管x2的系数含有字母,但a2+1≠0,所以⑥与④不同,故答案为①②⑥.
答案:①②⑥探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟1.形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的不等式,叫做一元二次不等式.
2.“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,哪一个是变量,是“未知数”,哪一些是“参数”就可以.
3.“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测一元二次不等式的解法
【例2】 解不等式.
(1)-x2+2x-3>0;(2)x2+x>- ;(3)-2x2+3x-2<0.
思路分析:把不等式化为二次项系数为正,右边为0的形式,利用“三个二次”之间的关系求解.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解:(1)原不等式可化为x2-2x+3<0,∵Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0,
∴原不等式的解集为?.(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0.
∵Δ=(-3)2-4×2×2=-7<0,
∴原不等式的解集为R.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟1.解一元二次不等式的一般步骤可概括为:一看(看二次项系数a的正负);二算(计算判别式,判断相应方程根的情况并求根);三写(写出不等式的解集).
2.解一元二次不等式要多结合对应二次函数的图象来分析,这样可使问题更加直观.
3.对于含字母的不等式,要注意根据字母的取值情况进行分类讨论.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测变式训练1在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A.(0,2) B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
解析:x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,即x2+x-2<0,解得-2答案:B探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测已知一元二次不等式的解集求参数问题
【例3】 当a为何值时,关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟已知不等式的解集,要求确定其系数,这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.这类问题也可以用下面的方法求解.
(1)根据不等式的解集形式可考虑构造出一个同解不等式,比较已知不等式和构造的不等式的系数得出参数的范围.
(2)结合二次函数的图象解决,尤其对于解集为R或?等情况.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解析:(1)∵关于x的不等式px2+qx+2>0的解集为(-1,2),
∴方程px2+qx+2=0的两根是x1=-1,x2=2,且p<0.由韦达定理,答案:(1)0　(2)[0,1] 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测分式不等式的解法 解析:(1)由已知得A={x|0【典例】 已知函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
名师点拨(1)利用判别式求解;
(2)转化为求函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值问题.
解:(1)f(x)≥a恒成立,
即x2+ax+3-a≥0恒成立,必须且只需Δ=a2-4(3-a)≤0,
即a2+4a-12≤0,
∴-6≤a≤2.
∴a的取值范围为[-6,2].探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测方法点睛1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法.
a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max(f(x)存在最大值);
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min(f(x)存在最小值).
2.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测变式训练设函数f(x)=mx2-mx-1,对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解析:当m=-1时,不等式变为2x-6<0,
即x<3,不符合题意.答案:C 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　.?
解析:根据所给数表中函数的单调性可以看出a>0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为-2和3.
答案:(-∞,-2)∪(3,+∞)探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测