高中数学必修5第二章数列模块复习 :48张PPT

课件48张PPT。第2课时　数列知识网络要点梳理思考辨析知识网络要点梳理思考辨析1.Sn与an的关系 2.等差数列与等比数列的定义式
当n≥2时,数列{an}满足an-an-1=d(常数)?等差数列;
________________?等比数列.
3.等差、等比数列的通项公式
(1)等差数列:an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d.
(2)等比数列:an=a1qn-1(q≠0),an=amqn-m(q≠0).
4.等差数列、等比数列的性质
若m+n=p+q,则
(1)在等差数列中,am+an=ap+aq.
(2)在等比数列中,aman=apaq.知识网络要点梳理思考辨析5.等差中项与等比中项
(1)若a,b,c成等差数列,则2b=a+c.
(2)若a,b,c成等比数列,则b2=ac.
6.等差数列、等比数列的前n项和公式7.等差数列、等比数列前n项和的性质
(1)等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等差数列.
(2)等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列.知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)数列{an}和集合{a1,a2,a3,a4,…,an}是一回事. (　　)
(2)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. (　　)
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N+,都有an=Sn-Sn-1. (　　)
(4)等差数列的单调性是由公差决定的. (　　)
(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. (　　)
(6)若对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2成立,则数列{an}一定为等差数列. (　　)知识网络要点梳理思考辨析答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　
(7)×　(8)×　(9)×专题归纳高考体验专题一　求数列的通项公式
【例1】 (1)等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列, .求数列{an}的通项公式.
(2)已知在数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式.
(3)已知在数列{an}中, ,前n项和Sn与an的关系是Sn=n(2n-1)an,求an.
思路点拨:(1)本题已知{an}是等差数列,可建立首项和公差的方程,通过解方程来求得首项和公差,再代入通项公式得其解.
(2)由于本题给出了数列{an}中连续两项的差,故可考虑用累加法求解.
(3)此题已知Sn与an的关系,应想到使用Sn法,然后得到相邻两项比的等式满足an=an-1f(n)这种模型,因此使用迭乘法求解.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟数列的通项是数列的重要内容之一,只要有数列的通项公式,许多问题便可迎刃而解.如果一个数列是等差数列或等比数列,那么可直接写出其通项公式,而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解.专题归纳高考体验变式训练1(1)设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)在数列{an}中,a1=1,an+1= an+1,求数列{an}的通项公式.解:(1)当n=1时,a1=S1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适用,
故{an}的通项公式为an=4n-2.
设{bn}的公比为q,则b2(a2-a1)=b1qd=b1,又d=4,专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题二　等差数列、等比数列的判定与证明
【例2】数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N.专题归纳高考体验专题归纳高考体验?专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题三　数列求和的常用方法 思路点拨:(1)可以两项并一项处理,然后转化为特殊数列求和.
(2)本题通项公式为 ,是一个指数式和一个一次式的和组成的,可以选择拆项分组求和法.
(3)①运用取倒数配常数法(根据目标);
②先利用错位相减法求Tn,再利用分类讨论思想确定λ的取值范围.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟数列的求和问题是数列中的重要问题,需要掌握一些简单数列的求和方法,并应用数列求和解决一些数列问题,数列的求和常用的方法有:(1)公式法(即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解);(2)并项转化求和法;(3)倒序相加法;(4)错位相减法;(5)裂项相消法;(6)分组转化法(即把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化为等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列的求和公式求解).专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题四　数列与数学思想
【例4】 (1)等差数列{an}的首项为a1=14,前n项和为Sn,若S3=S5,则当n=　　　　　时,Sn最大.?
(2)已知在等差数列{an}中,a1+a5=26,a1+a5-S3=5,则a20=　　　　　,S20=　　　　　.?
(3)某等差数列前4项之和为-4,最后4项之和为36,且所有项的和为36,则此数列共有　　　项.?
(4)已知等比数列{an}是一个公比为q的递增数列,且a5=a,a9= ,则该数列的首项a1　　　0.(填“>”或“<”)?专题归纳高考体验思路点拨:(1)本题利用了等差数列前n项和具有的二次函数性质,等差数列前n项和的最值问题经常借助求解二次函数最值的方法来解决.
(2)等差(比)数列的有关问题大都可以通过建立关于a1,d(q)的方程组求解.
(3)解题时,分析已知条件与所求问题的联系,把a1+a2+a3+a4以及an+an-1+an-2+an-3看成一个整体,灵活运用整体思想.
(4)当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论.在本题中,由于等比数列的增减性与a1,q相关,所以应对q的取值进行讨论.专题归纳高考体验专题归纳高考体验答案:(1)4　(2)115　1 160　(3)9　(4)< 专题归纳高考体验反思感悟1.在等差(比)数列的通项公式与前n项和公式中共有5个量a1,d(或q),n,an及Sn,已知这5个量中任意3个量的值,就可以运用方程思想,解方程(或方程组)求出另外2个量的值.
2.数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数,运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系,等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系,故可用函数的思想来解决数列问题.
3.若等比数列公比q的值不确定,求其前n项和时要分q=1和q≠1两种情况讨论.
4.由前n项和公式Sn,求通项公式an时应分n=1和n≥2两种情况分别求解.专题归纳高考体验考点一　等差数列
1.(2017课标全国卷Ⅰ,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8答案:C 专题归纳高考体验2.(2016课标全国卷Ⅰ,理3)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　)
A.100 B.99 C.98 D.97答案:C 专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点二　等比数列
4.(2017课标全国卷Ⅱ,理3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(　　)
A.1盏 B.3盏
C.5盏 D.9盏
解析:设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由 ,可得x=3,故选B.
答案:B专题归纳高考体验5.(2016课标全国卷Ⅲ,理17)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点三　数列的综合应用
6.(2017课标全国卷Ⅰ,文17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.专题归纳高考体验7. (2017课标全国卷Ⅱ,文17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.
(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;
(2)若T3=21,求S3.解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.
由a2+b2=2得d+q=3.①
(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,
解得q=-5或q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.
当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.专题归纳高考体验专题归纳高考体验9.(2017天津高考,理18)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n∈N+).
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,
而b1=2,所以q2+q-6=0.
又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①
由S11=11b4,可得a1+5d=16,②
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以,数列{an}的通项公式为an=3n-2,
数列{bn}的通项公式为bn=2n.专题归纳高考体验(2)设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,
有a2nb2n-1=(3n-1)×4n,
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,
上述两式相减,得
-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1专题归纳高考体验专题归纳高考体验11.(2016课标全国卷Ⅱ,理17)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
解:(1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.
所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题归纳高考体验13.(2017山东高考,文19)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列 的前n项和Tn.专题归纳高考体验专题归纳高考体验考点四　数列创新探究题型
14.(2017江苏高考,19)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.
(1)证明等差数列{an}是“P(3)数列”;
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{an}是等差数列.
证明:(1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,
从而,当n≥4时,
an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,
所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,
因此等差数列{an}是“P(3)数列”.专题归纳高考体验(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,
当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①
当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②
由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③
an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④
将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,
所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.
在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,
所以a2=a3-d',
在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,
所以a1=a3-2d',
所以数列{an}是等差数列.