第2章 章末复习
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课件39张PPT。章末复习第二章 推理与证明学习目标
1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.
2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.部分个别一般特殊特殊整体2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理.
② ——所研究的特殊情况.
③ ——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.一般特殊大前提小前提结论3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 .
① 是从已知条件推出结论的证明方法.
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.综合法分析法综合法分析法反证法1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.
( )
2.“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )
3.综合法是直接证明，分析法是间接证明.( )
4.反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )[思考辨析 判断正误]×√××题型探究例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________.类型一 合情推理的应用f(n)＝n3答案解析解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，
13＋15＋17＋19＝64＝43，…，
猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.解答(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.下面对①的猜想进行证明.
如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，
平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面.
设AB＝a，AC＝b，AD＝c，即所证猜想为真命题.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1 如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现：第4个图形中有_______根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒.133n＋1解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13.
通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)，
所以an＝3n＋1.答案解析类型二 综合法与分析法证明证明 分析法∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∵1－cos α>0，
∴4cos α(1－cos α)≤1，
可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，
只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立.综合法∵α∈(0，π)，∴sin α>0，反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.证明证明 (综合法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，(分析法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，类型三 反证法解答例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，证明(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1
(p所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.
所以假设不成立，原命题得证.反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.证明因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.达标检测12341.观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为
A.9(n＋1)＋n＝10n＋9
B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10答案√解析5解析 由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：
第n(n∈N＋)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.
故选B.12345答案√1234解析5123453.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案√12345解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.解析解析1234答案4.若a>0，b>0，则有√512345.已知等差数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________.S4＝56解析 显然S1是正确的.假设后三个数均未算错，
则a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，这四项不成等差数列，
但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，
故S4算错了，S4应为56.解析答案51.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.本课结束
1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.
2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.部分个别一般特殊特殊整体2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理.
② ——所研究的特殊情况.
③ ——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.一般特殊大前提小前提结论3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 .
① 是从已知条件推出结论的证明方法.
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.综合法分析法综合法分析法反证法1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.
( )
2.“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )
3.综合法是直接证明，分析法是间接证明.( )
4.反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )[思考辨析 判断正误]×√××题型探究例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________.类型一 合情推理的应用f(n)＝n3答案解析解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，
13＋15＋17＋19＝64＝43，…，
猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.解答(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.下面对①的猜想进行证明.
如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，
平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面.
设AB＝a，AC＝b，AD＝c，即所证猜想为真命题.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1 如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现：第4个图形中有_______根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒.133n＋1解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13.
通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)，
所以an＝3n＋1.答案解析类型二 综合法与分析法证明证明 分析法∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∵1－cos α>0，
∴4cos α(1－cos α)≤1，
可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，
只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立.综合法∵α∈(0，π)，∴sin α>0，反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.证明证明 (综合法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，(分析法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，类型三 反证法解答例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，证明(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1
(p
所以假设不成立，原命题得证.反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.证明因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.达标检测12341.观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为
A.9(n＋1)＋n＝10n＋9
B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10答案√解析5解析 由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：
第n(n∈N＋)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.
故选B.12345答案√1234解析5123453.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案√12345解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.解析解析1234答案4.若a>0，b>0，则有√512345.已知等差数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________.S4＝56解析 显然S1是正确的.假设后三个数均未算错，
则a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，这四项不成等差数列，
但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，
故S4算错了，S4应为56.解析答案51.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.本课结束