第3章 3.2.2 复数的乘法和除法
文档属性
| 名称 | 第3章 3.2.2 复数的乘法和除法 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-07 08:46:48 | ||
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文档简介
课件35张PPT。3.2.2 复数的乘法和除法第三章 §3.2 复数的运算学习目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.掌握共轭复数的性质.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数的乘法思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.梳理 (1)复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝_________________.
(2)复数乘法的运算律
①对任意复数z1，z2，z3，有(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1·z2＋z1·z3②对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝ ，(zm)n＝ ，(z1·z2)n＝
.
(3)共轭复数的性质zm＋nzmn知识点二 复数的除法法则答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，梳理 (1)复数的倒数
已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使 ，则z′
叫做z的倒数，记作___.
(2)复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则 ＝_________________
(a，b，c，d∈R且c＋di≠0).z·z′＝1特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).1.复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减.( )
2.两个共轭复数的和与积是实数.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究例1 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；类型一 复数的乘除运算解答解 (1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋I
＝1＋i.解答解答(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；解 (－2＋3i)÷(1＋2i)解答反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行.
(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行.解答跟踪训练1 计算：解答例2 已知复数z满足：z· ＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.类型二 共轭复数的性质及应用解答解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.解答因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0. ②例3 计算：
(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；类型三 in的周期性解答解 原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)
＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)
＝47－39i.解答＝i＋1.反思与感悟 (1)in的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋).
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋).
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.解答跟踪训练3 计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012.解 ∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i，
∴i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1且i＋i2＋i3＋i4＝0，
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)×503＝1.达标检测1234A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i答案√5解析2.设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是
A.i B.i2 C.i3 D.i4解析 z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1·z2为纯虚数，解析答案√12345∴实数m可以是i2，故选B.3.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数
的点是
A.M B.N
C.P D.Q√解析答案12345解析 由图可知z＝3＋i.123455＋i解析答案则z＝5＋i.解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，解答即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，123451.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.本课结束
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.掌握共轭复数的性质.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数的乘法思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.梳理 (1)复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，定义z1z2＝_________________.
(2)复数乘法的运算律
①对任意复数z1，z2，z3，有(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1·z2＋z1·z3②对复数z，z1，z2和自然数m，n有zm·zn＝ ，(zm)n＝ ，(z1·z2)n＝
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(3)共轭复数的性质zm＋nzmn知识点二 复数的除法法则答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，梳理 (1)复数的倒数
已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使 ，则z′
叫做z的倒数，记作___.
(2)复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则 ＝_________________
(a，b，c，d∈R且c＋di≠0).z·z′＝1特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).1.复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减.( )
2.两个共轭复数的和与积是实数.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究例1 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；类型一 复数的乘除运算解答解 (1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋I
＝1＋i.解答解答(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；解 (－2＋3i)÷(1＋2i)解答反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行.
(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行.解答跟踪训练1 计算：解答例2 已知复数z满足：z· ＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.类型二 共轭复数的性质及应用解答解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.解答因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0. ②例3 计算：
(1)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；类型三 in的周期性解答解 原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)
＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)
＝47－39i.解答＝i＋1.反思与感悟 (1)in的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋).
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋).
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i.解答跟踪训练3 计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012.解 ∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i，
∴i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1且i＋i2＋i3＋i4＝0，
∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 012＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)×503＝1.达标检测1234A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i答案√5解析2.设复数z1＝1＋i，z2＝m－i，若z1·z2为纯虚数，则实数m可以是
A.i B.i2 C.i3 D.i4解析 z1·z2＝(1＋i)(m－i)＝m＋1＋(m－1)i.
∵z1·z2为纯虚数，解析答案√12345∴实数m可以是i2，故选B.3.已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数
的点是
A.M B.N
C.P D.Q√解析答案12345解析 由图可知z＝3＋i.123455＋i解析答案则z＝5＋i.解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，解答即a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，123451.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.本课结束