第3章 章末复习
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课件34张PPT。章末复习第三章 数系的扩充与复数的引人学习目标
1.巩固复数的概念和几何意义.
2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的 和 .
若 ，则a＋bi为实数，若 ，则a＋bi为虚数，若 ，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R).实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0a＝c且b＝da＝c且b＋d＝0(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.在复平面内 叫做实轴，
叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示
；各象限内的点都表示非纯虚数.
(5)复数的模
向量 的长度叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝________.|z||a＋bi|x轴y轴实数纯虚数3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝
，(z1＋z2)＋z3＝ .
4.共轭复数的性质z2＋z1z1＋(z2＋z3)Rz它本身实数实轴1.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
2.原点是实轴与虚轴的交点．( )
3.方程x2＋x＋1＝0没有解．( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究类型一 复数的概念解答解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.(2)z是虚数；解答解 由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.(3)z是0.解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，
且a2－4≠0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.解答解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数.反思与感悟 (1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；解答解 因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.(2)z为虚数.解答解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，类型二 复数的四则运算解答＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化.
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋).
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋).解答类型三 复数问题实数化思想解答∴z2＝2i.∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|，反思与感悟 设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路.解答跟踪训练3 已知z是复数，z－3i为实数， 为纯虚数(i为虚数单位).
(1)求复数z；解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.∴a＝－1，即z＝－1＋3i.解答类型四 复数的几何意义解答例4 设复数z满足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值.解 由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值.|z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离.解答跟踪训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设 对应的复数为z.
(1)求复数z；解 由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i.解 由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).达标检测12341.复数z＝ (a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于
A.2 B.－1 C.1 D.－2答案√解析5所以2＋a＝0，
即a＝－2.2.已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数 的虚部是
A.－1 B.1 C.i D.0答案√1234解析53.已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为
A.p＝－4，q＝5 B.p＝4，q＝5
C.p＝4，q＝－5 D.p＝－4，q＝－5解析答案√1234解析 由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.54.若|z－1|＝2，则|z－3i－1|的最小值为____.解析1234答案1解析 因为|z－1|＝2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上.|z－3i－1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值为1.51234解答51.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.
2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.
3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.本课结束
1.巩固复数的概念和几何意义.
2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的 和 .
若 ，则a＋bi为实数，若 ，则a＋bi为虚数，若 ，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R).实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0a＝c且b＝da＝c且b＋d＝0(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.在复平面内 叫做实轴，
叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示
；各象限内的点都表示非纯虚数.
(5)复数的模
向量 的长度叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝________.|z||a＋bi|x轴y轴实数纯虚数3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝
，(z1＋z2)＋z3＝ .
4.共轭复数的性质z2＋z1z1＋(z2＋z3)Rz它本身实数实轴1.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
2.原点是实轴与虚轴的交点．( )
3.方程x2＋x＋1＝0没有解．( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究类型一 复数的概念解答解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.(2)z是虚数；解答解 由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.(3)z是0.解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，
且a2－4≠0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.解答解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数.反思与感悟 (1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；解答解 因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.(2)z为虚数.解答解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，类型二 复数的四则运算解答＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化.
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋).
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋).解答类型三 复数问题实数化思想解答∴z2＝2i.∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|，反思与感悟 设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路.解答跟踪训练3 已知z是复数，z－3i为实数， 为纯虚数(i为虚数单位).
(1)求复数z；解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.∴a＝－1，即z＝－1＋3i.解答类型四 复数的几何意义解答例4 设复数z满足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值.解 由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值.|z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离.解答跟踪训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设 对应的复数为z.
(1)求复数z；解 由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i.解 由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).达标检测12341.复数z＝ (a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于
A.2 B.－1 C.1 D.－2答案√解析5所以2＋a＝0，
即a＝－2.2.已知f(x)＝x3－1，设i是虚数单位，则复数 的虚部是
A.－1 B.1 C.i D.0答案√1234解析53.已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为
A.p＝－4，q＝5 B.p＝4，q＝5
C.p＝4，q＝－5 D.p＝－4，q＝－5解析答案√1234解析 由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.54.若|z－1|＝2，则|z－3i－1|的最小值为____.解析1234答案1解析 因为|z－1|＝2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上.|z－3i－1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值为1.51234解答51.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.
2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.
3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.本课结束