第1章 1.2.2 组合(2)
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课件53张PPT。第一章——计数原理1.2.2 组合(二)[学习目标]
1.理解组合的两个性质，并能解决简单组合数问题.
2.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.满足什么条件的两个组合是相同的组合？
答 如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同).2.组合数公式的两种形式在应用中如何选择？[预习导引]
1.组合的有关概念
从n个不同元素中，任意 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.取出m(m≤n)个元素并成一组组合数，用符号 表示.其公式为＝(n，m∈N＋，m≤n).特别地3.组合应用题的解法
(1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答.
(2)有限制条件的组合应用题的解法
常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.要点一 组合数的两个性质
例1 计算下列各式的值.＝161 700.规律方法 第一个性质常用于m> 时组合数的计算，该性质可较大幅度地减少运算量；第二个性质常用于恒等式变形和证明等式.要点二 分组、分配问题
例2 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；因此分为三份，每份两本一共有15种方法.(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.所以一共有90＋360＋90＝540种方法.规律方法 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.跟踪演练2 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，
(1)共有多少种放法？
解 一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种).(2)恰有1个盒内不放球，有多少种放法？
解 为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C 种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理知，共有放法
＝144(种).(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？
解 “恰有1个盒内放2个球”，
即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，
即另外3个盒子中恰有1个空盒.
因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法.(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？
解 先从4个盒子中任意拿走2个，有C 种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有 种放法；由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有C ×14＝84(种).要点三 与几何图形有关的组合问题
例3 已知平面α∥平面β，在α内有4个点不共线，在β内有6个点不共线.
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？
解 所作出的平面有三类：所以最多可作98个不同的平面.(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
解 所作的三棱锥有三类：所以最多可构成194个三棱锥.(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
解 ∵当等底面积、等高的情况下三棱锥体积才能相等.所以最多有114个体积不同的三棱锥.规律方法 解决与几何图形有关的问题时，要善于利用几何图形的性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题.跟踪演练3 在∠MON的边OM上有5个异于点O的点，在边ON上有4个异于点O的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？
解 方法一 (直接法)分几种情况考虑：
O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，方法二 也可以这样考虑，把O看成是OM边上的点，
先从OM上的6个点(含O)中取两点，
ON上的4点(不含O)中取一点，再从OM上的5点(不含O)中取一点，
从ON上的4点(不含O)中取两点，方法三 (间接法)先不考虑共线点的问题，但从OM上的6个点(含O)中任取三点不能得到三角形，
从ON上的5个点(含O)中任取3点也不能得到三角形，要点四 排列、组合的综合应用
例4 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
解 先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.规律方法 解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步.跟踪演练4 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解 方法一 从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，1234∴2x＝6或2x＋6＝18，
∴x＝3或6.3或6123416512343.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答).
解析 分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，
或者A类选修课1门，B类选修课2门，304.正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形.
解析 不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，123432课堂小结
1.应用组合知识解决实际问题的四个过程2.注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.
1.理解组合的两个性质，并能解决简单组合数问题.
2.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.满足什么条件的两个组合是相同的组合？
答 如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同).2.组合数公式的两种形式在应用中如何选择？[预习导引]
1.组合的有关概念
从n个不同元素中，任意 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.取出m(m≤n)个元素并成一组组合数，用符号 表示.其公式为＝(n，m∈N＋，m≤n).特别地3.组合应用题的解法
(1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答.
(2)有限制条件的组合应用题的解法
常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.要点一 组合数的两个性质
例1 计算下列各式的值.＝161 700.规律方法 第一个性质常用于m> 时组合数的计算，该性质可较大幅度地减少运算量；第二个性质常用于恒等式变形和证明等式.要点二 分组、分配问题
例2 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；因此分为三份，每份两本一共有15种方法.(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.所以一共有90＋360＋90＝540种方法.规律方法 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.跟踪演练2 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，
(1)共有多少种放法？
解 一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种).(2)恰有1个盒内不放球，有多少种放法？
解 为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C 种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理知，共有放法
＝144(种).(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？
解 “恰有1个盒内放2个球”，
即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，
即另外3个盒子中恰有1个空盒.
因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法.(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？
解 先从4个盒子中任意拿走2个，有C 种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有 种放法；由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有C ×14＝84(种).要点三 与几何图形有关的组合问题
例3 已知平面α∥平面β，在α内有4个点不共线，在β内有6个点不共线.
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？
解 所作出的平面有三类：所以最多可作98个不同的平面.(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
解 所作的三棱锥有三类：所以最多可构成194个三棱锥.(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
解 ∵当等底面积、等高的情况下三棱锥体积才能相等.所以最多有114个体积不同的三棱锥.规律方法 解决与几何图形有关的问题时，要善于利用几何图形的性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题.跟踪演练3 在∠MON的边OM上有5个异于点O的点，在边ON上有4个异于点O的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？
解 方法一 (直接法)分几种情况考虑：
O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，方法二 也可以这样考虑，把O看成是OM边上的点，
先从OM上的6个点(含O)中取两点，
ON上的4点(不含O)中取一点，再从OM上的5点(不含O)中取一点，
从ON上的4点(不含O)中取两点，方法三 (间接法)先不考虑共线点的问题，但从OM上的6个点(含O)中任取三点不能得到三角形，
从ON上的5个点(含O)中任取3点也不能得到三角形，要点四 排列、组合的综合应用
例4 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
解 先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.规律方法 解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步.跟踪演练4 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解 方法一 从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，1234∴2x＝6或2x＋6＝18，
∴x＝3或6.3或6123416512343.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答).
解析 分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，
或者A类选修课1门，B类选修课2门，304.正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形.
解析 不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，123432课堂小结
1.应用组合知识解决实际问题的四个过程2.注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.