第2章 2.1.1 离散型随机变量

课件42张PPT。第二章——概　率2.1　离散型随机变量及其分布列
2.1.1　离散型随机变量[学习目标]
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.了解随机变量与函数的区别与联系.
3.会用离散型随机变量描述随机现象.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
答　掷一枚硬币，可能出现正面向上、正面向下两种结果，我们可以分别用1和0表示，这样就可以用数字来表示试验结果，数字随试验结果的变化而变化，这就是随机变量.[预习导引]
2.非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？
答　非离散型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量，又称为连续型随机变量.它们的区别在于：离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间的一切值，无法对其值一一列举.[预习导引]
1.随机试验
一般地，一个试验如果满足下列条件：
(1)试验可以在相同的情形下 ；
(2)试验所有可能的结果是明确的，并且 ；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个.这种试验就是一个随机试验.重复进行不只一个2.随机变量
在随机试验中，实验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着 而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.试验的结果的不同3.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能 ，则称X为离散型随机变量.一一列举出来要点一　随机变量的概念
例1　指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
(1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
解　任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量.(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
解　投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量.(3)某个人的属相随年龄的变化.
解　属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量.规律方法　解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是随机试验的每一个可能结果的一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值.
跟踪演练1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由.
(1)上海国际机场候机室中2015年10月1日的旅客数量；
解　候机室中的旅客数量可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量.(2)2015年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；
解　D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量.(3)2015年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；
解　在《拉呱》节目播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多，也可能少，因此是随机变量.(4)体积为1 000 cm3的球的半径长.
解　体积为1 000 cm3的球半径长为定值，故不是随机变量.要点二　离散型随机变量的判定
例2　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
①湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，随机选某一路灯，其编号X；
解　①桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量；②在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
解　②小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量；③一天内气温的变化值X.
解　③一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量.规律方法　离散型随机变量的判定方法
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.跟踪演练2　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
解　只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
解　从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：
3个白球；2个白球和1个黑球；
1个白球和2个黑球；
3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
解　林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
解　实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.要点三　随机变量的应用
例3　写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.
解　Y的可能取值为2,3,4，…12，
若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1,1)；
{Y＝3}表示(1,2)，(2,1)；
{Y＝4}表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…；
{Y＝12}表示(6,6).(2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.
解　 ξ可取1,2,3.
{ξ＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1,2,3.
η可取0,1,2.
{η＝i}表示取出i支红粉笔，3－i支白粉笔，其中i＝0,1,2.(3)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ.
解　ξ可取3,4,5.
{ξ＝3}表示取出的3个球的编号为1,2,3；
{ξ＝4}表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；
{ξ＝5}表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.规律方法　随机变量从本质上讲就是以随机试验的每个结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值本质上是试验结果对应的数，起到了描述随机事件的作用.这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源.跟踪演练3　一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种.
解析　从6个球中选出3个球，
当ξ＝3时，另两个球从1,2中选取，有一种抽法；所以，ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20(种).答案　201.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是(　　)
A.出现正面的次数
B.出现正面或反面的次数
C.掷硬币的次数
D.出现正、反面次数之和1234解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.
而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件.故选A.
答案　A123412342.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A.取到产品的件数
B.取到正品的概率
C.取到次品的件数
D.取到次品的概率1234解析　对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量.
答案　C3.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是(　　)
A.2枚都是4点
B.1枚是1点，另1枚是3点
C.2枚都是2点
D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点1234解析　抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1,2，…，6.
而ξ＝x＋y，1234答案　D4.写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果.
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；
解　ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.1234其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”.
基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4,3和4.1234(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ.
解　ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”.1234课堂小结
1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.
2.写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值.