第2章 2.2.2 事件的独立性

课件47张PPT。第二章——概　率2.2.2　事件的独立性[学习目标]
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？
答　因抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立.2.互斥事件与相互独立事件有什么区别？
答　两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.[预习导引]
1.相互独立的概念
事件A，B相互独立：事件A是否发生对事件B发生的概率
，即P(B|A)＝ ，这时，我们称两个事件A，B
，并把两个事件叫做相互独立事件，且有P(A∩B)＝
.没有影响P(B)相互独立P(A)×P(B)2.相互独立的性质
一般地，如果事件A与B相互独立，那么
也相互 .如果事件A1，A2，…，An彼此独立，则P(A1∩A2∩…∩An)＝ .独立P(A1)·P(A2)·…·P(An)要点一　相互独立事件的判断
例1　从一副拿走了大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
解　由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽得红牌”，
故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，
以下考虑它们是否互为独立事件：事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，
亦即“抽得红桃老K或方块老K”，从而有P(A)·P(B)＝P(AB)，
因此A与B互为独立事件.规律方法　对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥.一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪
为一个必然事件.A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.跟踪演练1　(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥解析　对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；
对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，
所以事件A与B不是互斥事件.
答案　A(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　)
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥解析　事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}.即P(AB)＝P(A)P(B)，
因此，事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，
所以A，B不是互斥事件.
答案　B要点二　相互独立事件同时发生的概率
例2　甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
解　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，
“乙射击1次，击中目标”为事件B，2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
解　 “2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：所求的概率为＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.(3)2人至少有1人射中目标的概率；
解　“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，(4)2人至多有1人射中目标的概率.
解　“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，跟踪演练2　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 .求：
(1)两人都能破译的概率；
解　设“甲能破译”为事件A，
“乙能破译”为事件B，(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能破译的概率.
要点三　相互独立事件概率的综合应用
例3　某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
解　分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，
则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，
所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解　“恰有一科成绩未获得第一名”＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)·[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)
＝0.329，
所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.规律方法　求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算.跟踪演练3　某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
解　用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，
用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，
用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，
用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，(1)由题意知，A与B是相互独立事件所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.(2)恰有一件是正品的概率；
＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.(3)至少有一件正品的概率.
解　由于事件AB与C互斥，
所以P(D)＝P[(AB)∪C]
＝P(AB)＋P(C)
＝0.912＋0.086＝0.998.1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(　　)
A.互斥的事件 B.相互独立的事件
C.对立的事件 D.不相互独立的事件12341234即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，
∴A1与A2不是相互独立事件.
答案　D12342.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为
则此密码能译出的概率是(　　)解析　用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，1234答案　C3.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是(　　)
A.p1p2 B.p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C.1－p1p2 D.1－(1－p1)(1－p2)1234解析　恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决.
这两个事件显然是互斥的.
所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1).
故选B.
答案　B12344.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 ，乙当选的概率为 ，丙当选的概率为 .
(1)求恰有一名同学当选的概率；
解　设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，1234(1)因为事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为12341234(2)求至多有两人当选的概率.
解　至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)课堂小结一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.(列表比较)