第2章 2.3.1 离散型随机变量的数学期望

课件49张PPT。第二章——概　率2.3　随机变量的数字特征
2.3.1　离散型随机变量的数学期望[学习目标]
1.通过实例理解离散型随机变量期望的概念，能计算简单离散型随机变量的期望.
2.理解离散型随机变量期望的性质.
3.掌握两点分布、二项分布及超几何分布的期望.
4.会利用离散型随机变量的期望，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值2.已知随机变量ξ的分布列为则x＝________________________________，
P(1≤ξ<3)＝________________________________________.1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；
P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.[预习导引]
1.离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝
叫做这个离散型随机变量X的
或 (简称期望)，它反映了离散型随机变量取值的 .x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn均值数学期望平均水平2.离散型随机变量的性质
如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是离散型随机变量，且P(X＝xi)＝ ，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝ ＝ .P(Y＝axi＋b)E(aX＋b)aE(X)＋b3.三种常见的分布的数学期望
(1)如果随机变量X服从二点分布，那么E(X)＝ (p为成功概率).
(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝ .
(3)若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝ .pnp要点一　利用定义求离散型随机变量的数学期望
例1　袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望.
解　取出4只球颜色及得分分布情况是
4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，故X的分布列如下：规律方法　求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ).跟踪演练1　在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品.从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.
解　从10件产品中任取3件，共有C 种结果.
从10件产品中任取3件，
其中恰有k件一等品的结果数为 其中k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为要点二　二项分布的均值
例2　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设每局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
解　设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.
解　X的可能的取值为0,1,2,3.∴X的分布列为规律方法　将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键.
二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②每次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
④随机变量ξ是这n次独立重复试验中某事件发生的次数.跟踪演练2　某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 .记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；
解　依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，(2)求ξ的数学期望.
解　方法一　ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，∴ξ的概率分布列为要点三　离散型随机变量均值的应用
例3　某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}.(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
解　设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.故所求的分布列为规律方法　解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率.跟踪演练3　某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
解　由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，(2)求η的分布列及期望E(η).
解　由题意可知η可以取200,250,300，分布列如∴E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.1.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为(　　)
A.0.6 B.1 C.3.5 D.2
解析　抛掷骰子所得点数ξ的分布列为12341234答案　C12342.若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是(　　)
A.2×0.44 B.2×0.45
C.3×0.44 D.3×0.64
解析　∵ξ～B(n,0.6)，E(ξ)＝3，∴0.6n＝3，即n＝5.
故P(ξ＝1)＝C ×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.C3.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.12341004.A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：123412341234现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y.
(1)求X，Y的分布列；
解　X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.12341234123412341234(2)求E(X)，E(Y).课堂小结1.求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式求出均值.2.若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.