第2章 2.4 正态分布

课件36张PPT。第二章——概　率2.4　正态分布[学习目标]
1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.在频率分布直方图中，纵坐标的含义是 ，用小矩形的
表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条 .面积光滑的曲线答　μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，EX＝μ；σ>0表示方差，DX＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.3.若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？答　若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a＜X≤b)＝ f(x)dx可知，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量.[预习导引]
1.正态曲线
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量。
正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝ ，
x∈R，其中μ和σ是参数，且σ>0，μ∈R.参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.因此正态分布通常记作 ，正态变量的概率密度函数的的图象叫做正态曲线.N(μ，σ2)2.正态曲线的性质
(1)曲线在x轴 ，并且关于直线 对称；
(2)曲线在 时处于最高点，并且由此向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状.
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ ，曲线越“矮胖”，σ
，曲线越“瘦高”.上方x＝μx＝μ越大越小3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ例1　如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20).则P(|X－72|<20)＝P(|X－μ|<2σ)＝P(μ－2σ例2　设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；
解　∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，
P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.3%(2)P(3＜ξ≤5)；
解　∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，(3)P(ξ≥5).规律方法　解答此类题目的关键在于运用3σ原则将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再通过求其对称区间概率的一半解决问题.经常用到如下转换公式：①P(x≥a)＝1－P(x＜a)；②若b＜μ，则P(X＜μ－b)＝跟踪演练2　某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.
解　∵X～N(50,102)，
∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30例3　工厂制造的某机械零件的尺寸X服从正态分布N(4， )，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？∴不属于区间(3,5)的概率为
P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)
＝1－P(4－1＜X＜4＋1)
＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)
＝1－99.7% ＝ 0.3%，
∴1 000×0.3%＝3(个)，
即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.规律方法　 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想.跟踪演练3　某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为μ＝500 g，σ2＝1，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备.他的决定是否有道理呢？
解　如果设备正常运行，产品质量服从正态分布N(μ，σ2)，
根据3σ原则可知，产品质量在μ－3σ＝500－3＝497(g)和μ＋3σ＝500＋3＝503(g)之间的概率为99.7%，而质量超出这个范围的概率只有0.3%，这是一个几乎不可能出现的事件.
但是检验员随机抽取的产品为504 g，
这说明设备的运行极可能不正常，
因此检验员的决定是有道理的.1.如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2＝1<σ31234D12342.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是(　　)
A.曲线b仍然是正态曲线
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等1234C.以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2
答案　D12343.正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为(　　)
A.P1＝P2 B.P1＜P2
C.P1＞P2 D.不确定
解析　根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等.A4.一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率.
解　依题意μ＝104，σ＝400.
∴P(104－800由正态分布性质知P(X≤104－800)＝P(X>104＋800)
故2P(X>10 800)＋P(104－8002.正态总体在某个区间内取值的概率求法：
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等.
②P(X若b<μ，则P(X<μ－b)＝ .