第2章 正态分布章末复习提升
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课件53张PPT。第二章——概 率1知识网络 系统盘点，提炼主干2要点归纳 整合要点，诠释疑点3题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升1.离散型随机变量及其分布列
(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字母X，Y，ξ，η，…等表示.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.
(3)离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝Pi，以表格的形式表示如下：我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝Pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列.(4)离散型随机变量的分布列的性质：
①Pi≥0，i＝1,2，…，n；
②P1＋P2＋…＋Pn＝1.
(5)常见的分布列：
两点分布：如果随机变量X的分布列
具有下表的形式，则称X服从两点分
布，并称P＝P(X＝1)为成功概率.两点分布又称0－1分布，伯努利分布.
超几何分布：一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.2.二项分布及其应用
(1)条件概率：一般地，设A和B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.
(2)条件概率的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
(5)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝
C Pk(1－P)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，P)，并称P为成功概率.两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式.3.离散型随机变量的均值与方差
(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1P1＋x2P2＋…＋xiPi＋…＋xnPn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X).
(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为P的两点分布，则均值E(X)＝P，方差D(X)＝P(1－P).
②二项分布：若随机变量X～B(n，P)，则均值E(X)＝nP，方差D(X)＝nP(1－P).4.正态分布
(1)正态曲线与正态分布：
①正态曲线：我们把函数f(x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)(其中μ是样本均值，σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形，即中间高，两边低.②正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝ f(x)dx，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).(2)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值 ；
④曲线与x轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝99.7%.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则. 题型一 条件概率的求法
求条件概率的主要方法：(1)利用条件概率：P(B|A)＝ .
(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A)＝ .例1 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，
“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，
则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
解 方法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝24，跟踪演练1 一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A).
解 将产品编号1,2,3号为一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2).(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)}，
AB＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，题型二 互斥事件、相互独立事件的概率
求概率的问题往往可以先转化为互斥事件概率的和，再运用相互独立事件的概率公式求解.例2 国家射击队为备战2016年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动.在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处第一次射击命中的概率为 .(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率；
解 记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事件A.(2)如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米(此后飞碟不在射程之内).已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率.解 记“在一次游戏中，第i次击中飞碟”为事件Bi(i＝1,2,3).又Bi是相互独立事件，跟踪演练2 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响，求前三局比赛甲队领先的概率.
解 单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4，
记“甲队胜三局”为事件A，
“甲队胜二局”为事件B，则：∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)＋P(B)＝0.648.题型三 离散型随机变量的分布列、期望与方差
离散型随机变量的分布列是研究随机变量的期望和方差的基础，利用分布列还可以求随机变量在某个范围内取值的概率.例3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ，假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
解 记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，
“甲队以3∶1胜利”为事件A2，
“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意，各局比赛结果相互独立， (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.
解 设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得故X的分布列为跟踪演练3 口袋里装有大小相同的卡片8张，其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.求ξ的期望.
解 依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.∴ξ的分布列是题型四 正态分布的应用
例4 某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如下图所示，成绩X位于区间(52,68]的概率为多少？解 设成绩X～N(μ，σ2)，
则正态分布的密度函数∴P(52结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数百分比.
解 ∵P(7 500＜ξ≤8 500)
＝P(8 000－500＜ξ≤8 000＋500)
＝68.3%.
∴P(8 000＜ξ≤8 500)＝34.15%.即农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数占总体的34.15%.课堂小结
本章通过引入随机变量的概念，研究了几种类型的随机变量的分布列，以及条件概率、事件的独立性及相互独立的事件同时发生的概率公式.通过研究随机变量的数字特征如均值(数学期望)和方差(或标准差)，以及随机变量的分布列，对随机变量的总体水平及稳定程度进行了刻画，并通过样本均值和方差(或标准差)对总体进行估计.超几何分布、二项分布、n重独立重复试验及正态分布等，都是重要的概率模型，在社会生产、生活和科学研究中有着广泛的应用.
(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字母X，Y，ξ，η，…等表示.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.
(3)离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝Pi，以表格的形式表示如下：我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝Pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列.(4)离散型随机变量的分布列的性质：
①Pi≥0，i＝1,2，…，n；
②P1＋P2＋…＋Pn＝1.
(5)常见的分布列：
两点分布：如果随机变量X的分布列
具有下表的形式，则称X服从两点分
布，并称P＝P(X＝1)为成功概率.两点分布又称0－1分布，伯努利分布.
超几何分布：一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.2.二项分布及其应用
(1)条件概率：一般地，设A和B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.
(2)条件概率的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
(5)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝
C Pk(1－P)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，P)，并称P为成功概率.两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式.3.离散型随机变量的均值与方差
(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1P1＋x2P2＋…＋xiPi＋…＋xnPn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X).
(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为P的两点分布，则均值E(X)＝P，方差D(X)＝P(1－P).
②二项分布：若随机变量X～B(n，P)，则均值E(X)＝nP，方差D(X)＝nP(1－P).4.正态分布
(1)正态曲线与正态分布：
①正态曲线：我们把函数f(x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)(其中μ是样本均值，σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形，即中间高，两边低.②正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝ f(x)dx，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).(2)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值 ；
④曲线与x轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝99.7%.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则. 题型一 条件概率的求法
求条件概率的主要方法：(1)利用条件概率：P(B|A)＝ .
(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A)＝ .例1 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，
“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，
则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
解 方法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝24，跟踪演练1 一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A).
解 将产品编号1,2,3号为一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2).(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)}，
AB＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，题型二 互斥事件、相互独立事件的概率
求概率的问题往往可以先转化为互斥事件概率的和，再运用相互独立事件的概率公式求解.例2 国家射击队为备战2016年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动.在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处第一次射击命中的概率为 .(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率；
解 记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事件A.(2)如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米(此后飞碟不在射程之内).已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率.解 记“在一次游戏中，第i次击中飞碟”为事件Bi(i＝1,2,3).又Bi是相互独立事件，跟踪演练2 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响，求前三局比赛甲队领先的概率.
解 单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4，
记“甲队胜三局”为事件A，
“甲队胜二局”为事件B，则：∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)＋P(B)＝0.648.题型三 离散型随机变量的分布列、期望与方差
离散型随机变量的分布列是研究随机变量的期望和方差的基础，利用分布列还可以求随机变量在某个范围内取值的概率.例3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ，假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
解 记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，
“甲队以3∶1胜利”为事件A2，
“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意，各局比赛结果相互独立， (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.
解 设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得故X的分布列为跟踪演练3 口袋里装有大小相同的卡片8张，其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.求ξ的期望.
解 依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.∴ξ的分布列是题型四 正态分布的应用
例4 某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如下图所示，成绩X位于区间(52,68]的概率为多少？解 设成绩X～N(μ，σ2)，
则正态分布的密度函数∴P(52
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数百分比.
解 ∵P(7 500＜ξ≤8 500)
＝P(8 000－500＜ξ≤8 000＋500)
＝68.3%.
∴P(8 000＜ξ≤8 500)＝34.15%.即农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数占总体的34.15%.课堂小结
本章通过引入随机变量的概念，研究了几种类型的随机变量的分布列，以及条件概率、事件的独立性及相互独立的事件同时发生的概率公式.通过研究随机变量的数字特征如均值(数学期望)和方差(或标准差)，以及随机变量的分布列，对随机变量的总体水平及稳定程度进行了刻画，并通过样本均值和方差(或标准差)对总体进行估计.超几何分布、二项分布、n重独立重复试验及正态分布等，都是重要的概率模型，在社会生产、生活和科学研究中有着广泛的应用.