第3章 3.2 回归分析
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课件60张PPT。第三章——统计案例3.2 回归分析[学习目标]
1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.
2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.什么叫回归分析？
答 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法.2.回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？
答 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等.[预习导引]2.相关系数
对于变量x与y随机抽到的n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，检测统计量是样本相关系数相关系数r的取值范围是 ，|r|越接近1，变量之间的线性相关程度越高，|r|越接近0，线性相关程度越弱，当|r|>
时，有95%的把握认为两个变量之间有线性相关关系.[－1,1]r0.053.非线性回归分析
回归曲线方程也可以线性化
(1)将幂函数型函数y＝axn(a为常数，a，x，y均取正值)化为线性函数：
将y＝axn两边取常用对数，则有lg y＝nlg x＋lg a，令μ＝lg y，v＝lg x，b＝lg a，代入上式得μ＝nv＋b(其中n、b是常数)，其图象是一条直线.(2)将指数型函数y＝cax(a＞0，c＞0，a，c为常数)化为线性函数；
将y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝xlg a＋lg c，令μ＝lg y，b＝lg c，d＝lg a，代入上式得μ＝dx＋b(d，b是常数)，它的图象是一条直线.要点一 求线性回归方程
例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；
解 散点图如图.(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩.
即可以预测他的物理成绩是82.规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析.
(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.跟踪演练1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
解 如图：(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.要点二 相关性检验
例2 下面的数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)以及每天花在看电视上的平均时间x(小时).(1)求心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r；心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相关系数(2)求心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；查表n－2＝4，r0.05＝0.811，因为|r|≈0.902 5>0.811，
所以有95%以上的把握认为y与x之间有线性关系，这个方程是有意义的.(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏的功能水平.因此估计平均每天看电视3小时的男子的心脏的功能水平为69分.规律方法 解决这一类问题时，首先应对问题进行必要的相关性检验，如果不作相关性检验，我们仍然可以求出x与y的线性回归方程，但不知道这时的线性回归方程是否有意义，也就不知道能否反映变量x与y之间的变化规律，只有在x与y之间具有相关关系时，求得的线性回归方程才有意义.跟踪演练2 维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.(1)画散点图；
解 (2)求线性回归方程；
解 列表：＝0.264 3，(3)求相关系数r，并进行相关性检验.＝0.96.
计算得r＝0.96>r0.05＝0.754.说明甲醛浓度与缩醛化度两个变量之间有较强的线性相关关系.要点三 非线性回归模型
例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：试建立y与x之间的回归方程.解 根据上表中数据画出散点图如图所示.由图看出，样本点分布在某条指数型函数曲线y＝c1e 的周围，于是令z＝ln y.由计算器计算可得下表，c2x画出散点图如图所示.由表中数据可得z与x之间的回归直线方程：规律方法 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1e 的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系.c2x跟踪演练3 某种书每册的成本费Y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：检验每册书的成本费Y与印刷册数的倒数 之间是否具有线性相关关系？若有，求出Y对x的回归方程；若无，说明理由.解 设μ＝，则Y与μ的数据关系如下表所示：经过计算r＝0.999 8>r0.05＝0.632.
从而有95%的把握认为这两个变量具有线性相关关系，从而求Y与μ的回归直线方程有意义.1.下列各组变量之间具有线性相关关系的是( )
A.出租车费与行驶的里程
B.学习成绩与学生身高
C.身高与体重
D.铁的体积与质量1234C12342.若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的线性回归方程为
＝50＋80x，则下列判断正确的是( )
A.劳动生产率为1 000元时，月工资为130元
B.劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元
C.劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元
D.月工资为210元时，劳动生产率为2 000元B12341234解析 由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.
又当x＝10时，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合实际情况，故选A.
答案 A4.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：12341234(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；12341234(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.课堂小结
回归分析的基本思路：
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.
2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.什么叫回归分析？
答 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法.2.回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？
答 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等.[预习导引]2.相关系数
对于变量x与y随机抽到的n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，检测统计量是样本相关系数相关系数r的取值范围是 ，|r|越接近1，变量之间的线性相关程度越高，|r|越接近0，线性相关程度越弱，当|r|>
时，有95%的把握认为两个变量之间有线性相关关系.[－1,1]r0.053.非线性回归分析
回归曲线方程也可以线性化
(1)将幂函数型函数y＝axn(a为常数，a，x，y均取正值)化为线性函数：
将y＝axn两边取常用对数，则有lg y＝nlg x＋lg a，令μ＝lg y，v＝lg x，b＝lg a，代入上式得μ＝nv＋b(其中n、b是常数)，其图象是一条直线.(2)将指数型函数y＝cax(a＞0，c＞0，a，c为常数)化为线性函数；
将y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝xlg a＋lg c，令μ＝lg y，b＝lg c，d＝lg a，代入上式得μ＝dx＋b(d，b是常数)，它的图象是一条直线.要点一 求线性回归方程
例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；
解 散点图如图.(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩.
即可以预测他的物理成绩是82.规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析.
(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.跟踪演练1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
解 如图：(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.要点二 相关性检验
例2 下面的数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽出的6个样本，分别测定了心脏的功能水平y(满分100)以及每天花在看电视上的平均时间x(小时).(1)求心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的样本相关系数r；心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x之间的相关系数(2)求心脏的功能水平y与每天花在看电视上的平均时间x的线性回归方程，并讨论方程是否有意义；查表n－2＝4，r0.05＝0.811，因为|r|≈0.902 5>0.811，
所以有95%以上的把握认为y与x之间有线性关系，这个方程是有意义的.(3)估计平均每天看电视3小时的男子的心脏的功能水平.因此估计平均每天看电视3小时的男子的心脏的功能水平为69分.规律方法 解决这一类问题时，首先应对问题进行必要的相关性检验，如果不作相关性检验，我们仍然可以求出x与y的线性回归方程，但不知道这时的线性回归方程是否有意义，也就不知道能否反映变量x与y之间的变化规律，只有在x与y之间具有相关关系时，求得的线性回归方程才有意义.跟踪演练2 维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(g/L)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.(1)画散点图；
解 (2)求线性回归方程；
解 列表：＝0.264 3，(3)求相关系数r，并进行相关性检验.＝0.96.
计算得r＝0.96>r0.05＝0.754.说明甲醛浓度与缩醛化度两个变量之间有较强的线性相关关系.要点三 非线性回归模型
例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：试建立y与x之间的回归方程.解 根据上表中数据画出散点图如图所示.由图看出，样本点分布在某条指数型函数曲线y＝c1e 的周围，于是令z＝ln y.由计算器计算可得下表，c2x画出散点图如图所示.由表中数据可得z与x之间的回归直线方程：规律方法 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1e 的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系.c2x跟踪演练3 某种书每册的成本费Y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：检验每册书的成本费Y与印刷册数的倒数 之间是否具有线性相关关系？若有，求出Y对x的回归方程；若无，说明理由.解 设μ＝，则Y与μ的数据关系如下表所示：经过计算r＝0.999 8>r0.05＝0.632.
从而有95%的把握认为这两个变量具有线性相关关系，从而求Y与μ的回归直线方程有意义.1.下列各组变量之间具有线性相关关系的是( )
A.出租车费与行驶的里程
B.学习成绩与学生身高
C.身高与体重
D.铁的体积与质量1234C12342.若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的线性回归方程为
＝50＋80x，则下列判断正确的是( )
A.劳动生产率为1 000元时，月工资为130元
B.劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元
C.劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元
D.月工资为210元时，劳动生产率为2 000元B12341234解析 由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.
又当x＝10时，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合实际情况，故选A.
答案 A4.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：12341234(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；12341234(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.课堂小结
回归分析的基本思路：
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；