第四章 图形的性质 第24节 直角三角形
■考点1.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■考点2.直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■考点3.直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.（2018年湖北省襄阳市）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；
解：
∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2.（2018年青海省）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=300，B点的坐标为(0,2)，将?ABO沿着斜边AB翻折后得到?ABC，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【考点】全等三角形的性质和判定,含300的直角三角形
【分析】过点C作轴，垂直为D，首先证明≌，从而可求得BC的长，然后再求得，接下来，依据在中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
解：，，，
≌．
，，
过点C作轴，垂直为D，则．
，．
．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3.（2019年湖南省邵阳市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ）
A．120° B．108° C．72° D．36°
【考点】直角三角形斜边上的中线，翻折变换（折叠问题）
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．
◆变式训练
1.（2019年广西玉林市）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′ B．60°15′ C．150°55′ D．150°15′
2.（2018年湖南省常德市）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3.（2019年湖北省黄石市）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
4.（2019年河南省）如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.（2017年湖南益阳市）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=6.5；
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．
2.【2015?毕节】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．21cnjy.com
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
1.（2017湖南省长沙市）一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
3（2019年河北省）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为 km，
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为 km．
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
【2018荆门】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题
【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，
∴BC=EA，∠ABC=60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，
∴∠DEA=∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2019年黑龙江省伊春市）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
（2019年四川省成都市）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
（2019年湖南省怀化市）与30°的角互为余角的角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．70° D．90°
（2019年湖北省咸宁市）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年广西贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（ ）
A．2cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．4cm2
（2019年湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝ ．
（2019年山东省东营市）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是 ．
（2019年湖南省株洲市）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝ ．
（2018年江苏省徐州市）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD= °．
（2019年江苏省常州市）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是 ．
（2019年江苏省南京 ）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．
（2019年山东省威海市）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．
（2019年山东省枣庄市）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝ ．
选择题
（2019年浙江省湖州市）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′
（2019年四川省宜宾市）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
（2019年贵州省毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为( )
A． B．3 C． D．5
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
（2019年湖南省益阳市）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧，再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
（2019年浙江省宁波市）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
（2019年浙江省湖州市）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．2 B． C． D．
（2019年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
（2019年山东省东营市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3，CG＝2，则CF的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
（2019年浙江省宁波市）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
（2018年湖北省荆门市）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
（2019年重庆市（a卷））如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（ ）
A． B． C． D．
填空题
（2019年江苏省常州市）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
（2019年湖南省邵阳市）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是 ．
（2019年北京市）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
（2019年湖北省荆州市）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为 cm2．
（2018年辽宁省锦州市）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为 ．
（2018年重庆市（B卷））如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于 ．
解答题
（2019年河北省）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
勾股数组Ⅱ
35
/
（2019年四川省巴中市）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A．B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：EC＝BD，
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
（2019年四川内江市）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF，
（2）若AE＝5，请求出EF的长．
（2019年浙江省温州市）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．
（2019年浙江省金华市、丽水市）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．
（2018年黑龙江省大庆市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
（2018年江苏省常州市）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
（2018年天津市）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.
（Ⅰ）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.
①求证△ADB≌△AOB；
②求点H的坐标.
（Ⅲ）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDN的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
第四章 图形的性质 第24节 直角三角形
■考点1.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■考点2.直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■考点3.直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.（2018年湖北省襄阳市）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；
解：
∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2.（2018年青海省）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=300，B点的坐标为(0,2)，将?ABO沿着斜边AB翻折后得到?ABC，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【考点】全等三角形的性质和判定,含300的直角三角形
【分析】过点C作轴，垂直为D，首先证明≌，从而可求得BC的长，然后再求得，接下来，依据在中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
解：，，，
≌．
，，
过点C作轴，垂直为D，则．
，．
．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3.（2019年湖南省邵阳市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ）
A．120° B．108° C．72° D．36°
【考点】直角三角形斜边上的中线，翻折变换（折叠问题）
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF＝∠ADC＝72°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．
◆变式训练
1.（2019年广西玉林市）若α＝29°45′，则α的余角等于（ ）
A．60°55′ B．60°15′ C．150°55′ D．150°15′
【考点】度分秒的换算，余角和补角
【分析】根据互为余角的定义作答．
解：∵α＝29°45′，
∴α的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角．
2.（2018年湖南省常德市）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．
解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CE=CD×cos∠C=3，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
3.（2019年湖北省黄石市）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
【考点】等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．
解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF＝AC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，
∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
4.（2019年河南省）如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．
【考点】作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出．再根据ASA证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在直角中利用勾股定理求出CD的长。
解：如图，连接FC，
则．
，
．
在与中，
，
，
，
，．
在中，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.（2017年湖南益阳市）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=6.5；
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．
2.【2015?毕节】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．21cnjy.com
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
1.（2017湖南省长沙市）一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为x， 2x，3x，， 依题意得2x+3x+x=180°， 解得x=30°． 故三角30°，60°，90°． 故选B．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，由条件计算出角的大小是解题的关键．
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．
解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意； B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，符合题意； C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，不符合题意； D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：B．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
3（2019年河北省）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．
（1）A，B间的距离为 km，
（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为 km．
【考点】勾股定理的应用
【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度，
（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x的值．
解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，
∴AB＝12﹣（﹣8）＝20，
（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，
由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，
AE＝12，
设CD＝x，
∴AD＝CD＝x，
由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，
∴解得：x＝13，
∴CD＝13，
故答案为：（1）20，（2）13，
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
【2018荆门】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题
【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，
∴BC=EA，∠ABC=60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，
∴∠DEA=∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2019年黑龙江省伊春市）如图，在中，，于点，于点，与交于点，于点，点是的中点，连接并延长交于点．
（1）如图①所示，若，求证：；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点与点重合），猜想线段、与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形
【分析】（1）连接CF，由垂心的性质得出CF⊥AB，证出CF∥BH，由平行线的性质得出∠CBH=∠BCF，证明△BMH≌△CMF得出BH=CF，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH，由直角三角形的性质得出AD=BD，即可得出结论；
（2）同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH，再由等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
（1）证明：连接，如图①所示：
， ，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）解：图②猜想结论：；理由如下：
同（1）可证： ，
在中，，
，
；
图③猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
在中，，
，
．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题关键在于作辅助线
（2019年四川省成都市）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【考点】平行线的性质，等腰直角三角形
【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ADC＝30°，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，即可得到∠1＝45°﹣30°＝15°．
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
（2019年湖南省怀化市）与30°的角互为余角的角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．70° D．90°
【考点】余角和补角
【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．
解：与30°的角互为余角的角的度数是：60°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键．
（2019年湖北省咸宁市）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理的证明
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
（2019年广西贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（ ）
A．2cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．4cm2
【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理的应用
【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝90°，依据勾股定理即可得出BC的长，进而得到重叠部分的面积．
解：如图，过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝2cm，
∴Rt△BCD中，BC＝＝2（cm），
∴重叠部分的面积为×2×2＝2（cm），
故选：A．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（2019年湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝ ．
【考点】勾股定理
【分析】分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
解：∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA?tan∠AOP＝2，
∴BP＝＝2，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB?tan∠1＝2，
故答案为：2或2或2．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2019年山东省东营市）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是 ．
【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理
【分析】作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据三角形的周长公式计算即可．
解：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝，
由勾股定理得，BD＝＝3，
∴BC＝2BD＝6，
∴△ABC的周长为：6+2+2＝6+4，
故答案为：6+4．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2019年湖南省株洲市）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝ ．
【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理
【分析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质求出AB．
解：∵E、F分别为MB、BC的中点，
∴CM＝2EF＝2，
∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CM＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
（2018年江苏省徐州市）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD= °．
【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质
【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质得到△BCD为等腰三角形，由等腰三角形的性质和角的互余求得答案．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，
∴BD是中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠BDC=∠C=55°，
∴∠ABD=90°﹣55°=35°．
故答案是：35．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．
（2019年江苏省常州市）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是 ．
【考点】坐标与图形性质，勾股定理
【分析】作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3，再根据勾股定理求解．
解：作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3．
则根据勾股定理，得OP＝5．
故答案为5．
【点评】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．
（2019年江苏省南京 ）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15，
则木筷露在杯子外面的部分至少有：20?15＝5（cm）．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
（2019年山东省威海市）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质，等腰直角三角形的性质，
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠C＝45°，由三角形的外角性质得出∠AGB＝68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．
解：∵△ABC是含有45°角的直角三角板，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠1＝23°，
∴∠AGB＝∠C+∠1＝68°，
∵EF∥BD，
∴∠2＝∠AGB＝68°，
故答案为：68．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等
（2019年山东省枣庄市）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝ ．
【考点】勾股定理，等腰直角三角形
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，
∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
选择题
（2019年浙江省湖州市）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是（ ）
A．29°28′ B．29°68′ C．119°28′ D．119°68′
【考点】度分秒的换算，余角和补角
【分析】根据余角的概念进行计算即可．
解：∵∠α＝60°32′，
∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，
故选：A．
【点评】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
（2019年四川省宜宾市）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的重心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【分析】连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OBC＝∠OCB＝30°，结合条件BC＝2即可求出△OBC的面积，由∠EOF＝∠BOC，从而得到∠EOB＝∠FOC，进而可以证到△EOB≌△FOC，因而阴影部分面积等于△OBC的面积．
解：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O为△ABC的内心
∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．
∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．
∴OB＝OC．∠BOC＝120°，
∵ON⊥BC，BC＝2，
∴BN＝NC＝1，
∴ON＝tan∠OBC?BN＝×1＝，
∴S△OBC＝BC?ON＝．
∵∠EOF＝∠AOB＝120°，
∴∠EOF﹣∠BOF＝∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC．
在△EOB和△FOC中，
，
∴△EOB≌△FOC（ASA）．
∴S阴影＝S△OBC＝
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
（2019年贵州省毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为( )
A． B．3 C． D．5
【考点】正方形的性质，勾股定理
【分析】先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，
故选B.
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.
（2019年贵州省贵阳市 ）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】作图-基本作图，勾股定理
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长．
解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
（2019年湖南省益阳市）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧，再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【考点】勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定
【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
（2019年浙江省宁波市）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【考点】勾股定理
【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2019年浙江省湖州市）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】勾股定理，图形的剪拼
【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM＝AB，利用勾股定理即可求得．
解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM＝PB，
∴PM＝AB，
∵PM＝＝，
∴AB＝，
故选：D．
【点评】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
（2019年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）
A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm
【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用．
【分析】连接OA，OD，利用垂径定理解答即可．
解：连接OA，OD，
∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．AB＝8dm，DC＝2dm，
∴AD＝4dm，
设圆形标志牌的半径为r，可得：r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
（2019年山东省东营市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3，CG＝2，则CF的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，勾股定理，直角三角形斜边上的中线
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，再证明BF＝CF，则CF为斜边AB上的中线，然后根据勾股定理计算出AB，从而得到CF的长．
解：由作法得GF垂直平分BC，
∴FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴FG∥AC，
∴BF＝CF，
∴CF为斜边AB上的中线，
∵AB＝＝5，
∴CF＝AB＝．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
（2019年浙江省宁波市）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【考点】平行线的性质，三角形外角性质，等腰直角三角形
【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝70°．
解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
（2018年湖北省荆门市）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】等腰直角三角形；轨迹，直角三角形斜边上的中线性质，三角形中位线性质
【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OM=PQ，CM=PQ，则OM=CM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
解：连接OC，OM、CM，如图，
∵M为PQ的中点，
∴OM=PQ，CM=PQ，
∴OM=CM，
∴点M在OC的垂直平分线上，
∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，
∴点M所经过的路线长=AB=1．
故选：C．
【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．
（2019年重庆市（a卷））如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点】等边三角形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．
解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
填空题
（2019年江苏省常州市）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
【考点】余角和补角
【分析】若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解．
解：∵∠α＝35°，
∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°
故答案为：55．
【点评】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．
（2019年湖南省邵阳市）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是 ．
【考点】数学常识，勾股定理的证明
【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
解：∵勾a＝6，弦c＝10，
∴股＝＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4
故答案是：4
【点评】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
（2019年北京市）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
【考点】三角形的外角性质，勾股定理，勾股定理的逆定理
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（2019年湖北省荆州市）如图①，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为 cm2．
【考点】截一个几何体，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】根据已知条件得到GF＝GE＝EF＝＝2，过G作GH⊥EF于H，求得GH＝GF＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4cm，E，F，G分别是AB，AA1，AD的中点，
∴GF＝GE＝EF＝＝2，
过G作GH⊥EF于H，
∴GH＝GF＝，
∴图②中阴影部分的面积＝×2×＝2cm2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
（2018年辽宁省锦州市）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为 ．
【考点】菱形的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
解：∵ABCD是菱形
∴BO=DO=4，AO=CO，S菱形ABCD==24
∴AC=6
∵AH⊥BC，AO=CO=3
∴OH=AC=3
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．
（2018年重庆市（B卷））如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于 ．
【考点】翻折变化，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．
解：由题意可得，
DE=DB=CD=AB，
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，
∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，
∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∴AC=DE，
∵AC∥DE，AC=CD，
∴四边形ACDE是菱形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，
∴AC=，
∴AE=．
【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
解答题
（2019年河北省）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试 化简整式A．
发现 A＝B2，求整式B．
联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
勾股数组Ⅱ
35
/
【考点】幂的乘方与积的乘方，勾股数
【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17，
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
故答案为：17，37
【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
（2019年四川省巴中市）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A．B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：EC＝BD，
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，等腰直角三角形
【分析】①通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论，
②利用等面积法证得勾股定理．
①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝90°．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD．
在△AEC与△BCD中，
∴△CAE≌△BCD（AAS）．
∴EC＝BD，
②解：由①知：BD＝CE＝a
CD＝AE＝b
∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）
＝a2+ab+b2．
又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC
＝ab+ab+c2
＝ab+c2．
∴a2+ab+b2＝ab+c2．
整理，得a2+b2＝c2．
【点评】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．
（2019年四川内江市）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF，
（2）若AE＝5，请求出EF的长．
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，利用SAS定理证明结论，
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，得到△AEF为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，
∴EF＝AE＝5．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质整式解题的关键．
（2019年浙江省温州市）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．
【考点】作图—应用与设计作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质
【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．
（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5即可．
解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．
（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（2019年浙江省金华市、丽水市）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．
【考点】勾股定理，作图—应用与设计作图．
【分析】从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点；
解：如图：
从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；
EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；
借助圆规作AB的垂直平分线即可；
【点评】本题考查三角形作图；在格点中利用勾股定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键．
（2018年黑龙江省大庆市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
【考点】勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，
【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得；
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC=2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm，
（2018年江苏省常州市）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
【考点】作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质
【分析】（1）只要证明FC=FB即可解决问题；
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG；
（1）证明：如图1中，
∵EK垂直平分线段BC，
∴FC=FB，
∴∠CFD=∠BFD，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠CFD．
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②结论：Q是GN的中点．
理由：设PP′交GN于K．
∵∠G=60°，∠GMN=90°，
∴∠N=30°，
∵PK⊥KN，
∴PK=KP′=PN，
∴PP′=PN=PM，
∴∠P′=∠PMP′，
∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°，
∴∠PMP′=30°，
∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，
∴QM=QN，QM=QG，
∴QG=QN，
∴Q是GN的中点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（2018年天津市）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.
（Ⅰ）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.
①求证△ADB≌△AOB；
②求点H的坐标.
（Ⅲ）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDN的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.
【考点】等腰三角形的判定和性质，勾股定理，旋转变换的性质
【分析】（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x，在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；
（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；
②由①知，再根据矩形的性质得.从而，故BH=AH，在Rt△ACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；
（Ⅲ）.
解：（Ⅰ）∵点，点，
∴，.
∵四边形是矩形，
∴，，.
∵矩形是由矩形旋转得到的，
∴.
在中，有，
∴ .
∴.
∴点的坐标为.
（Ⅱ）①由四边形是矩形，得.
又点在线段上，得.
由（Ⅰ）知，，又，，
∴.
②由，得.
又在矩形中，，
∴.
∴.
∴.
设，则，.
在中，有，
∴.解得.
∴.
∴点的坐标为.
（Ⅲ）.
【点睛】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.
