北师大版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：06生活中的变量关系及函数的概念

生活中的变量关系及函数的概念
【学习目标】
(1)了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
(2)理解函数的概念，会用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的要素，在学会运用区间表示数集的基础上，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
【要点梳理】
要点一：函数关系与依赖关系的联系
(1)具有依赖关系的两个变量，不一定具有函数关系；
(2)当且仅当对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称这两个变量之间有函数关系；
(3)运用图形语言说明变量x，y间的关系：
结合依赖关系及函数（初中）的定义可知，图2-1中变量x，y间具有依赖关系，但不具有函数关系；而图2-2中变量x，y间具有函数关系和依赖关系．
要点二：函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
要点三：构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
要点四：区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
； ；
.
要点五：函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
要点六：函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【典型例题】
类型一：函数关系与依赖关系
例1．某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆需给床位定一个合适的价格，条件是：(1)要方便结账，床价应为1元的整数倍．(2)该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的支出费用后的收入)．则净收入y是否是床价x的函数？若是，写出y与x的函数关系；若不是，请说明理由．
【思路点拨】本题涉及床位价、床位数、出租的全部收入、费用支出和净收入等关键词和它们各自量间的关系，特别注意两个限制条件．列表分析如下：
床位价
床位数
全部收入
净收入
低于标准价时
x
100
100x
100x-575
高于标准价时
x
100-3(x-10)
x[100-3(x-10)]
x[100-3(x-10)]-575
【答案】是
【解析】 问题中两个变量：净收入y与床位价x存在依赖关系，且y随x变化而变化，每给一个床位价x，都有唯一确定的y与之对应，所以净收入y是床位价x的函数．
由已知，有
因为，，由且，得，．
由且，得，．
所以所求函数关系为
【总结升华】函数关系是两个变量之间的确定的关系，当且仅当对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称这两个变量之间有函数关系．求函数关系式的关键是分析清题中所给的条件之间的关系，特别注意两个限制条件．
举一反三：
【变式1】 由于环境气候的原因，夏季高山上的温度要比山下低．著名风景旅游区泰山夏季山脚平均温度为26℃，从山脚起每升高100 m，气温就降低0.7℃，则温度y是否是爬山高度x的函数？若是，写出y与x之间的函数关系；若不是，请说明理由．
【答案】
【解析】问题中的两个变量：山上的温度°C与爬山的相对高度m存在依赖关系，且随的变化而变化，每给一高度，都有唯一确定的与之对应，所以温度是爬山高度的函数。由题意可知，当爬山高度为m时，此时的温度比山脚降低了，
所以与之间的函数关系为。
类型二：函数的概念
例2.已知集合，，则从到的函数有 个.
【答案】8
【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.
4
4
4
4
5
5
5
5
4
4
5
5
4
4
5
5
4
5
4
5
4
5
4
5
由表可知，这样的函数有8个，故填8.
【总结升华】函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键.
举一反三：
【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集上的一个函数？为什么？
（1）；
（2），；
（3），对任意的.
【解析】（1）对于任意一个非零实数被唯一确定，所以当时，是函数，可表示为.
（2）当时，，得或，不是有唯一值和对应，所以（）不是函数.
（3）不是，因为当时，在集合中不存在数值与之对应.
【函数的概念与定义域 例2】
例3．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1) 的定义域不同，前者是，后者是全体实数，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
举一反三：
【变式】(2019 湖北高考)设，定义符号函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于选项A，右边=，而左边=，显然不正确;
对于选项B, ，右边=，而左边=，显然不正确;
对于选项C，右边=，而左边=，显然不正确;
对于选项D，右边=，而左边=，显然正确;
.
类型三：函数定义域的求法
例4.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)； (2)；　　　　(3).
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
(1)的定义域为x2-3≠0，；
(2)；
(3).
【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：
(1)； (2)；（3）.
【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．
【解析】
(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；
(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为.
【总结升华】小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
例4.（1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
（3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【思路点拨】（1）若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域．（2）若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．
【答案】（1）[1，]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．
【解析】（1）设，由于函数定义域为[1，2]，，故，即，解得，所以函数的定义域为[1，].
（2）设，因为，所以，即，函数的定义域为[3，5] .由此得函数的定义域为[3，5] .
（3）因为函数的定义域为[1，2]，即，所以，所以函数的定义域为[3，5]，由，得，所以函数的定义域为[2，3] .
【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的.
举一反三：
【变式1】已知的定义域为，求的定义域.
【答案】
【解析】的定义域为，，，，解得：或，所以的定义域为.
例5.（2019 江西模拟）已知函数，
(1)解关于的不等式；
(2)若函数的图象恒在图像的上方，求实数的取值范围.
【解析】（1）把函数代入并化简得，
，故不等式解集为：;
(2) 函数的图象恒在图像的上方，恒成立，即恒成立，，的取值范围为.
类型四：求函数的值及值域
例6. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.
例7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
【答案】（1）[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞).
【解析】(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．
（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
举一反三：
【变式1】 求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），即所求函数的值域为；
（2），，，即函数的值域为；
（3）
函数的定义域为
，，，即函数的值域为．
（4）
所求函数的值域为．
【巩固练习】
1.（2019 武汉模拟）若函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2．函数的值域是( )
A． B． 　　C． D．
3．如图所示，垂直于x轴的直线EF从坐标原点O向右移动，若E是EF与x轴的交点，设OE＝x(0≤x≤a)，EF在移动过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图像大致是( )．
4．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有 ( )个．
A．1个 B．2个　　　 C．3个 D．4个
5．已知函数则实数的值等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
6．已知函数定义域是，则的定义域是( )
A． B． C．  D． 
7．定义域为的函数值域为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则的值是（ ）
A．2008 B．2009 C． D． 2010
9.(2019 广州校级模拟)函数的定义域是 .
10．若函数的定义域是，则函数的定义域是
．
11．已知，则不等式的解集是 ．
12．已知，则= ．
13．当为何值时，方程（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．
14．已知函数，且满足求的值域．
15.(2019 乌鲁木齐模拟)设，
(1)求的解集；
(2)当时，，求实数的取值范围.
16．已知函数对任意的实数，都有成立．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】要使函数有意义，则，即解得，即函数的定义域为，
故选A.
2．【答案】C.
【解析】
；
3．【答案】A
【解析】由图可知，阴影部分的面积开始时增加速度较快，当经过点C继续移动时，的值是均匀增加的，因此中间一段为直线型，当经过点A继续移动时，的变化会越来越慢。
4．【答案】A．
【解析】由函数的定义知选A．
5．【答案】A．
【解析】该分段函数的二段各自的值域为，
∴∴ ．
6．【答案】A．
【解析】 ；
7．【答案】C.
【解析】将图像向左（或右）平移，值域不变。
8．【答案】C．
【解析】，．
9.【答案】
【解析】由，解得且故函数的定义域为.
10．【答案】
【解析】
解不等式组得，又．
11．【答案】
【解析】
当
当，
∴.
12．【答案】4020
【解析】 令，则由
可得即
分别令，
则
=2+2+2+…+2=2010×2=4020
13．【解析】设，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个数问题来处理．
设
则
画出函数的图象，如右图．
再画出函数的图象．由图象可以看出：
（1）当时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．
（2）当或时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解．
（3）当时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解．
（4）当时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解．
14．【答案】
【解析】由得，从而
由得
整理得，，，解得.
，的值域为.
15.【解析】（1），其图像如图所示.
令解得，
的解集为：.
(2)如图，当时，，要使，只需
当时，有或即或
解得：.
16．【解析】（1）不妨设
则应用
从而得，设，
则应有
.
（2）证明：当时，注意到，于是，而
所以.
（3）题设中有，因此需将36转化，注意到36=，因此，=.