北师大版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：07函数的表示法与映射(基础)

函数的表示法及映射

【学习目标】
(1)掌握函数的表示法，能根据对应关系满足的条件，求函数的解析式；
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
(4)了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．
【要点梳理】
要点一、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点二、映射
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
要点诠释：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.
3.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
要点三、关于分段函数应注意的几点
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数．
（2）处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用法则造成错误结果．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域也是各段值域的并集．
要点四、函数解析式的求法
（1）若已知函数的结构形式，可用待定系数法求解．
（2）若已知表达式较简单时，可直接用配凑法求解．
（3）已知得解析式，求的解析式用换元法．
可令，反解出，即用表示，然后代入中即求得，从而求得．
要点诠释：
利用配凑法、换元法求解析式时一定要注意自变量的取值范围为所求函数的定义域．
（4）已知，的解析式，求的解析式，用代入法，只需将替换中的．
（5）方程组法（消去法），适用于自变量有对称规律，如：互为倒数（如，）；互为相反数（如，）的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．
【典型例题】
类型一、映射与函数
例1．（1）试用列举法表示内的整数的绝对值；
（2）某城市在某一年里各月份毛线的零售量（单位：百千克）如表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
零售量
81
84
45
46
9
5
6
15
94
161
144
123
则零售量是否为月份的函数？为什么？
【解析】
（1）如下表所示：

－3
－2
－1
0
1
2
3
3
2
1
0
1
2
3
（2）是函数，因为对于集合中任一个值，由表可知都有唯一确定的值与它对应，所以由它可确定为是的函数．
【总结升华】用列举法表示函数简单明了，也就是通过表格来展示自变量与函数值（因变量）间的对应关系，它能清晰地显示出这个函数的定义域、值域及对应关系．
【函数的概念与定义域 例1】
例2. 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：
（5）A={0，1，2}，B={0，1， }，对应法则是f：
【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
【解析】
(1)是映射，不是函数，因为集合A、B不是数集，是点集；
(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．
(3)是映射，也是函数，函数解析式为．
（4）是映射，也是函数．
（5）对于集合A中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．
【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．
举一反三：
【变式1】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？
(1)A=N，B={1，-1}，f：x(y=(-1)x；
(2)A=N，B=N+，f：x(y=|x-3|；
(3)A=R，B=R，
(4)A=Z，B=N，f：x(y=|x|；
(5)A=N，B=Z，f：x(y=|x|；
(6)A=N，B=N，f：x(y=|x|.
【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.
例3．已知映射中，，
（1）求A中元素（1,2）的像；
（2）求B中元素（1,2）的原像．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①中，；②对应关系；③A是原像集，B是像集．解答本题中的（1）可利用代入对应关系求出的值便可，解答（2）可利用方程的观点解方程组求出的值便可．
【答案】（1）（0，9）（2）（）
【解析】
（1）当时，，，故A中元素（1，2）的像为（0，9）；
（2）令，得，故B中元素（1，2）的原像是（）．
【总结升华】解答此类问题，关键是：
（1）分清原像和像；（2）搞清楚由原像到像的对应关系．
【变式1】如果在映射的作用下的像为，其中，则的像是 ，（2，－3）的原像是 ．
【答案】（3，2）；（3，－1）或（－1，3）．
类型二、函数解析式的求法
例4. 求函数的解析式
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)已知，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)用代入法，．
(2)法一：换元法
令，则，所以
即：.
法二：凑配法
=，所以．
(3) ①，用代替上式中的，得 ②
由①②联立，消去，得
故所求的函数为．
【总结升华】（1）由求，一般使用代入法；（2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出的解析式．
举一反三：
【变式1】已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)．
【答案】f(x)=x2+2x-1
【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法3)设f(x)=ax2+bx+c则
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
；
【总结升华】求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
【变式2】求下列函数的解析式
（1）已知为二次函数，且当时取最小值，求；
（2）函数满足求．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）待定系数法：设，由得，所以，所以．
（2）解方程组法：在已知等式中，将换为，则应换为，得解得
类型三、函数的图象
例5.作出下列函数的图象.
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象．
【解析】(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．
（2），
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图（2）．
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示（3）．
类型四、分段函数
例6.函数中，若，则的值为（ ）．
A．1 B．1或 C． D．
【思路点拨】分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
【答案】D
【解析】若，由，得，舍去．
若，由，得，由于，舍去，故．
若，则得，舍去．
综上知．故选D．
【总结升华】（1）解决分段函数的问题关键在于“分段归类”，即首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系（图象），离开定义域谈函数是无意义的．
（2）作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可．
举一反三：
【变式1】 已知，若，则实数
　　A．-4或-2　　　B．-4或2　　　 C．-2或4　　　 D．-2或2
【答案】B　　【解析】
　　　　　　　　 故选B．
【巩固练习】
1．对于集合A到集合B的映射，有下述四个结论 ( )
①B中的任何一个元素在A中必有原象； ②A中的不同元素在B中的象也不同；
③A中任何一个元素在B中的象是唯一的； ④A中任何一个元素在B中可以有不同的象．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个　　　 C．3个 D．4个
2．设都是由A到A的映射，其对应法则如表1和表2所示：
表1 映射的对应法则 表2 映射的对应法则
原像
1
2
3
4
像
3
4
2
1
原像
1
2
3
4
像
4
3
1
2
则与相同的是（ ）
A． B．　　　 C． D．
3．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )
A．(，1) B．(1，3) C．(2，6) D．(-1，-3)
4．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )
6．已知函数则实数的值等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
7．已知函数的图象关于直线对称，且当时，有则当时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所表示的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
9．二次函数的图象经过三点，则这个二次函数的解析式为 。
10．设函数则实数的取值范围是 ．
11．函数的值域是_________．
12．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围 。
13．已知映射:A→B中，A＝B＝{(x，y)}|x∈R，y∈R}，中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x+y-1，x-2y+1)．
（1）是否存在这样的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；
（2）判断这个映射是不是一一映射．
14．作出下列函数的图象：
（1）；（2）.
15．建一个容积为8、深为2的长方体无盖水池，如果池底造价是120元/，池避的造价是80元/，求水池的总造价（元）与池底（）之间的函数关系式.
【答案与解析】
1．【答案】A．
【解析】由映射的概念知，只有③正确．
2．【答案】A ．
【解析】由表2可知，所以，又所以可得。
3．【答案】A．
【解析】设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=， y=1，应选A．
4．【答案】C．
【解析】作出图象 也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集。
5．【答案】D.
【解析】因为纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，所以当时，纵轴表示家到学校的距离，不能为零，故排除A、C；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，所以刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D.
6．【答案】A．
【解析】该分段函数的二段各自的值域为，
∴∴ ．
7．【答案】D.
【解析】 设，则，而图象关于对称，
得，所以。
8.【答案】B.
【解析】本题考查函数图象与解析式之间的关系.将x=0代入选项排除A、C，将x=1代入选项排除D，故选B.
9．【答案】
【解析】设把代入得
10．【答案】
【解析】当，这是矛盾的；当.
11. 【答案】.
【解析】，
12．【答案】
【解析】
得.
13．【答案】（1）（2）是
【解析】（1）设存在这样的元素，则元素（a，b）满足方程组 解得 故存在元素使它的像仍是自己．
（2）设B中元素（a，b）在A中的原像为（x，y），则，解得，即（a，b）在A中的原像唯一，由（1）（2）知该映射是一一映射．
14．【解析】
15．【答案】
【解析】设池底矩形宽（），则池底矩形长为（）．
底面积为4，造价为（元）．左、右两侧面造价为（元），前、后两侧面造价为（元）．
水池的总造价与池底宽之间的函数关系式为
．