北师大版高中数学必修一知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：11二次函数性质的再研究

二次函数性质的再研究
【学习目标】
1.掌握二次函数的图象和性质，会判断二次函数的单调性；
2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题；
3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．
【要点梳理】
要点一：二次函数的性质与图象
1．函数的图象和性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：
函数
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
单调性
最大(小)值
y＝ax2(a＞0)
向上
(0,0)
y轴
在区间上是减函数，在区间上是增函数
当x＝0时，
y＝ax2(a＜0)
向下
(0,0)
y轴
在区间上是增函数，在区间上是减函数
当x＝0时，
要点诠释：
函数中的系数a对函数图象的影响：
(1)当a＞0时，开口向上，a越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；
(2)当a＜0时，开口向下，a的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．
2．二次函数的图象和性质
(1)二次函数的图象和性质如下表：
函数
二次函数
图象
a＞0
a＜0
性质
抛物线开口向上，并向上无限延伸
抛物线开口向上，并向下无限延伸
对称轴是直线，
顶点坐标是
对称轴是直线，
顶点坐标是
在区间上是减函数，
在区间上是增函数
在区间上是增函数，
在区间上是减函数
抛物线有最低点，当时，
y有最小值，
抛物线有最高点，当时，
y有最大值，
(2)配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．
对任何二次函数都可通过配方化为：
．
其中，．
(3)关于配方法要注意两点：
①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数；
②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．
3．二次函数的解析式
(1)一般式：．
(2)顶点式：，顶点(h，k)．
(3)交点式：，x1，x2为二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标．
求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．
要点诠释：
①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式，a、b、c为常数，a≠0的形式．
②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式，其中顶点为(h，k)，a为常数，且a≠0．
③若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求二次函数为交点式，a为常数，且a≠0．
4．二次函数的图象画法与平移
(1)二次函数的图象的画法：
因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：
(i)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴；
(ii)求抛物线与坐标轴的交点．
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D．由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后连线，画出二次函数的图象．
(2)二次函数的平移规律．
任意抛物线都可转化为的形式，都可由的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．
即上述平移规律“h值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．
5．二次函数的最值求解
二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．
(1)从函数的解析式来研究，对于，通过配方可化为的形式，再对进行研究．
一般地，对于二次函数，
当a＞0时，y有最小值；
当a＜0时，y有最大值．
(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线，一般描出五个点可画出图象．二次函数的图象如图所示．
当a＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y有最小值，最小值是；
当a＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y有最大值，最大值是．
6．二次函数的对称轴及其应用
根据教材中例题知道对称轴为x＝-4，由此推导出．反过来，如果已知，则可得该函数的对称轴为x＝-4．现总结如下：
(1)若某函数(不一定是二次函数)满足(a为常数)，则该函数的对称轴为x＝a．
(2)若某函数(不一定是二次函数)满足(a为常数)，则该函数的对称轴为x＝a．
(3)若某函数(不一定是二次函数)满足(且a，b为常数)，则该函数的对称轴为．
实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x＝t，则x＝t-a，
∴ ，∴ ，即．
要点二、待定系数法
1．待定系数法的定义
（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.
（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组
①用特殊值法列方程组；
②根据多项式恒等定理列方程组；
③利用定义本身的属性列方程（组）；
④利用几何条件列方程（组）．
（3）待定系数法的理论根据是多项式恒等定理，即
如果，那么．
2．待定系数法求解题的基本步骤
(1)设出含有待定系数的解析式；
(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；
(3)解方程（组），求出待定系数的值，从而写出函数解析式.
【典型例题】
类型一：求二次函数的解析式
例1．已知二次函数与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x＝-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．
【思路点拨】根据题目已知条件，巧妙设出二次函数的解析式，然后用待定系数法去求解．
【答案】或
【解析】 解法一：∵ 二次函数的对称轴是x＝-1，顶点M到x轴距离为2，
∴ 顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．
故设二次函数的解析式为，
或，
又∵ 抛物线经过点A(-3，0)，
∴ 或，
分别解出或，
∴ 所求函数的解析式是或．
解法二：∵ 点A(-3，0)在抛物线上，
∴ 0＝9a-3b+c， ①
又∵ 对称轴是x＝-1，
∴ ， ②
∵ 顶点M到x轴的距离为2，
∴ 或． ③
解由①②③组成的方程组：
或
分别解得 或
∴ 所求函数的解析式是：
或．
解法三：∵ 抛物线的对称轴是x＝-1，
又∵ 图象经过点A(-3，0)，
∴ 点A(-3，0)关于对称轴x＝-1对称的对称点A′(1，0)，
∴ 设函数解析式为y＝a(x+3)(x-1)，
由题意得抛物线的顶点M的坐标为(-1，2)或(-1，-2)，
分别代入，得
2＝a(-1+3)(-1-1)或-2＝a(-1+3)(-1-1)，
解关于a的方程，或，
得所求函数解析式为：
，或．
【总结升华】 二次函数的解析式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式．解题时要根据题目的条件灵活选择，比较以上三种解法，可以看出解法一和解法三比解法二简便．
例2．已知二次函数满足＝－1，＝－1，且的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【思路点拨】已知函数类型求函数的解析式时，常用待定系数法求解，设出函数的解析式，根据题目条件确定待定系数中的字母值，从而写出函数的解析式．
【答案】
【解析】
解法一：利用二次函数一般式 ，设，
由题意得 解之得
∴ 所求二次函数为．
解法二：利用二次函数顶点式，设，
∵ ＝＝－1，∴ 抛物线对称轴方程为＝.
∴ ，又根据题意函数有最大值为，
∴
∵ ＝－1，∴
∴ .
解法三：利用两根式 由已知，＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设＋1＝a(x－2)(x＋1)，即＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即 ＝8，
解之得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数解析式为＝.
【总结升华】
举一反三：
【变式1】 已知二次函数对任意实数t满足关系f(2+t)＝f(2-t)且有最小值-9．又知函数的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数的解析式．
【答案】
【解析】∵ 函数图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且又知x＝2为其对称轴，由|AB|＝6，知x1＝2-3＝-1，x2＝2+3＝5，于是可设，由二次函数图象的性质知，当x＝2时，，故以f(2)＝a(2+1)(2-5)＝-9，解得a＝1，因此，．
例3．已知函数的图像由下图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．

【答案】
【解析】 根据图象，设左侧的射线对应的解析式为．
∵ 点（1，1），（0，2）在射线上，
∴ 解得
∴ 左侧射线对应的函数解析式为；
同理，时，函数的解析式为；
再设抛物线对应的二次函数解析式为，
∵ 点（1，1）在抛物线上，
∴ ，，
∴ 当1≤x≤3时，函数的解析式为．
综上，函数的解析式为
类型二：利用二次函数图象或性质求函数的值域
例4．作出下列函数图象并写出其值域．
（1）；
（2）．
【答案】（1）[0，+∞)（2）[-5，3)
【解析】 （1）由得x≤0或x≥2；
由得．
由
其函数图象如图所示，y∈[0，+∞)．
（2）
如图所示，得y∈[-5，3)．
【总结升华 】 （1）．
．
．
例5．求二次函数在[t，t+1]上的最值．
【思路点拨】因为区间[t，t+1]在运动，所以讨论动区间的两个端点与定轴的大小关系，得到函数在区间[t，t+1]上的单调性，从而求出函数的最值．
【解析】 ，对称轴x＝1，
∵ 区间[t，t+1]不固定，要讨论：
①当t+1≤1，即t≤0时，函数在[t，t+1]上为单调减函数，
当x＝t+1时，有最小值，
当x＝t时以有最大值；
②当，即时，
，；
③当t≤1≤，即≤t≤1时，
，；
④当t＞1时，区间在对称轴的右侧，此时函数在[t，t+1]上是单调增函数，
当x＝t时，，
当x＝t+1时，．
综上所述：当t≤0时，
，；
当时，
，；
当≤t≤1时，
，；
当t＞1时，
，．
【总结升华】解这类题的关键：抓住“三点一轴”．三点即区间两端点及区间中点，一轴即为对称轴．
举一反三：
【变式1】求函数在[0，2]上的值域．
【解析】 由已知可知，函数的对称轴为x＝a．
①当a＜0时，．，所以函数的值域为[-1，3-4a]．
②当0≤a≤1时，．，所以函数的值域为[-(a2+1)，3-4a]．
③当l＜0≤2时，．，所以函数的值域为[-(a2+1)，-1]．
④当a＞2时，，，所以函数的值域为[3-4a，-1]．
综上所述，当a＜0时，值域为[-1，3-4a]；当0≤a≤1时，值域为[-(a2+1)，3-4a]；当1＜a≤2时，值域为[-(a2+1)，-1]；当a＞2时，值域为[3-4a，-1]．
【总结升华】定区间动对称轴的二次函数求最值或值域关键是分类讨论并借助图象，从图象上直观地看出在何处取最小值和最大值．然后代入计算即可．
类型三：待定系数法
例6．已知直线AB过x轴上的一点A(2，0)且与抛物线y＝ax2相交于B(1，-1)、C两点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)问抛物线上是否存在一点D，使？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）或
【解析】 (1)设直线的解析式为y＝kx+b，∵ 直线过点A(2，0)，B(1，-1)，
∴ 解得
∴ 直线的解析式为．
又∵ 抛物线过点B(1，-1)，∴ a＝-1．
∴ 抛物线的解析式为．
(2)直线与抛物线相交于B、C两点，故由 解得C点坐标为C(-2，-4)．
由上图可知，．
假设抛物线上存在一点D，使，
设D(m，-m2)，∴ ，
∴ ，或，
即存在这样的点或，使．
【总结升华】 本题考查用待定系数法求函数的解析式，对于判定是否存在一点使得条件成立，可以先假设存在，并设出相应的点，然后根据条件列出等式．若等式成立，则存在相应的点；若等式不成立，则不存在相应的点．
【巩固练习】
1．函数在上的最大值为（ ）
A. B. C.3 D. 0
2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(　　)
A．1　 B．－1 C. D.
3.已知二次函数中从逐渐变化到1的过程中，它说对应的抛物线位置随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ）
A.先往左上方移动，再往左下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动
C.先往右上方移动，再往右下方移动 D. 先往右下方移动，再往右上方移动
4.设，函数在区间上的最大值是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数f(x)＝ax2－2ax＋1(a>1)，若x1A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)6．已知函数，若有则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则的最小值为（ ）
A． B． 8 C． 12 D． 13
8．关于x的方程2－＋k＝0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中假命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．函数的最大值是________ ．
10．若函数 的值在区间上有正也有负，则实数的范围是_____________．
11.若函数在区间上的最大值为2，则= ．
12．已知函数，且．关于函数有下列结论：
（1）； （2）在区间上是减函数；
（3）在区间上是增函数；（4）对任意，必有成立．
其中正确的结论是 ．（将全部正确结论的序号都填上）
13．(1)求函数的最值．
①x∈R；②x∈[-2，0]；③x∈[0，3]；④∈[2，4]．
(2)当-2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值．
14．抛物线与轴交于点两点且.求的值.
15．当时，求函数的最小值．
16．已知在区间内有最大值，求的值.
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】，因为，所以．
2. 【答案】B
【解析】由题意知，，又图象经过坐标原点，所以故．
3. 【答案】C
【解析】，其对称轴为，顶点．当从逐渐变化到1的过程中，对称轴逐渐右移，顶点的纵坐标先变大再变小．所以函数的图象先往右上方移动，再往右下方移动．
4. 【答案】D
5. 【答案】B
【解析】=，又，
．
6. 【答案】A
【解析】可知函数f(x)的值域是[－1，＋∞)，要使f(a)＝g(b)，必须使得－b2＋4b－3≥－1，即b2－4b＋2＜0，解得，∴b的取值范围是．
7. 【答案】D
【解析】设x1，x2为方程两根，则有
∴m＞2，令f(x)＝mx2－kx+2，
∴k＞0，∴Δ＝k2－8m＞0，即，又f(1)＝m－k+2＞0
，又m、k为整数
，解得
∴mmin＝6，∴kmin＝7，即m+k的最小值为13．
8．【答案】B
【解析】据题意可令＝t(t≥0)①，则方程化为t2－t＋k＝0②，作出函数y＝的图象，结合函数的图象可知：(1)当t＝0或t>1时方程①有2个不等的根；(2)当09．【答案】4
【解析】画出分段函数的图象即可得．
10．
【解析】由题意知，，即，得．
11. 【答案】1
【解析】，在区间上的最大值是
12．【答案】②④
【解析】
13．【解析】(1)对二次函数配方，得．
①若x∈R，当x＝1时，；无最大值．如图(1)所示．
②若x∈[-2，0]，当x＝-2时，；当x＝0时，．．如图(2)所示．
③若x∈[0，3]，当x＝1时，；当x＝3时，．如图(3)所示．
④若x∈[2，4]，当x＝2时，；当x＝4时，．如图(4)所示．

(2)作出函数的图象如图所示．
当x＝1时，；当x＝-2时，．
【总结升华】（1）可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
（2）根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围内的图象形状各异．下面给出一些常见情况（如图所示）：
14．【解析】 由题意 是方程的两根，
∵ ，又
即，
∴ ， 解得，．
当时△＞0，当时△＜0（舍去） ∴．
15．【解析】对称轴
当，即时，是的递增区间，；
当，即时，是的递减区间，；
当，即时，．
16．【解析】对称轴，当即时，是的递减区间，
则，得或，而，即；
当即时，是的递增区间，则，
得或，而，即不存在；当即时，
则，即；∴或 ．