9.1 数列的概念 (1):37张PPT

课件37张PPT。第9章——数 列9.1　数列的概念 (一)[学习目标]
1.理解数列及其有关概念；
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
下列4个结论正确的有________．
(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数；
(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；
(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4) 对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；
(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．
答案　(3) [预习导引]
1.数列及其相关的概念
按某种规则依次排列的一列数叫做 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第1位的数称为这个数列的 或叫做第1项，排在第2位的数称为这个数列的第2项，依次类推，排在第n位的数称为这个数列的第 项.数列项首项n2.数列的表示方法
一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为 .
3.数列的分类
项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做 数列.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列{an}的 公式.{an}无穷通项有穷要点一　数列的有关概念
例1　下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由.(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；解　错误.{0,1,2,3,4}是集合，不是数列.(2)所有自然数能构成数列；解　正确.如将所有自然数按从小到大的顺序排列.(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；解　错误.当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成.(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.解　错误.数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为an＝2n－1.规律方法　(1)数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.
(2)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本质的区别.跟踪演练1　已知下列数列：
(1)2 000,2 004,2 008,2 012；其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________(将合理的序号填在横线上).解析　(1)是有穷递增数列；(3)是无穷递减数列；
(4)是摆动数列，也是无穷数列；
(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.答案　(1)　(2)(3)(4)(5)　(1)(2)　(3)　(4)(5)　(5)要点二　根据数列的前几项写出通项公式
例2　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
(1)－1,7，－13,19，…；解　符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).(3)0.8,0.88,0.888，…；解　各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为解　将数列统一为 ，对于分子3,5,7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得原数列的一个通项公式为an＝规律方法　此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体思考方向为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系.跟踪演练2　写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33，…；解　3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，….
所以an＝2n＋1.解　每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，解　偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按
照这样的规律第1,2两项要点三　数列通项公式的应用例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；解　根据an＝3n2－28n，a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.解　令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
∴n＝7或n＝ (舍).
∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，∴68不是该数列的项.规律方法　(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项.A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项A1.下列说法中，正确的是(　　)
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列123D.数列0,2,4,6,8，…，可表示为an＝2n(n∈N*)123解析　A错，{1,3,5,7}是集合.
B错，是两个不同的数列，顺序不同.D错，an＝2(n－1)(n∈N*).答案　C2.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为(　　)
A.an＝n B.an＝n＋1
C.an＝n＋2 D.an＝2n
解析　这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为an＝n＋1.123B3.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)1，－3,5，－7,9，…；123解　数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N*.(2)9,99,999,9 999，…；123解　各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.(3)0,1,0,1，….123课堂小结
1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性：数列中的数可以重复.
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.
3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.