9.2 等差数列(1):30张PPT
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课件30张PPT。第9章——数 列9.2 等差数列(一)[学习目标]
1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？
答 从第二届起，每一届的年份与它前一届年份的差等于同一个常数4.这个数列叫等差数列.[预习导引]
1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这样的数列称为 数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母d表示.等差公差2.等差中项的概念
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的 ，并且A＝ .
3.等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项
an＝ .等差中项a1＋(n－1)d4.等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为 数列；若公差d<0，则数列{an}为 数列.
5.等差数列与一次函数的关系
已知数列{an}中，an＝pn＋q，其中p，q是常数，且p不为0，那么数列{an}是首项a1＝p＋q，公差d＝p的等差数列.递增递减要点一 等差数列的概念
例1 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列.解 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*).
所以数列{an}为等差数列.规律方法 判断一个数列是不是等差数列，就是判断
an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数.跟踪演练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列.A要点二 等差中项及其应用例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项.∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列.求p，q的值.解 由x1＝3，得2p＋q＝3， ①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1， ②
将②代入①，得p＝1.故p＝1，q＝1.规律方法 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝ ，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.跟踪演练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为要点三 等差数列的通项公式及应用例3 (1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解 设{an}的公差为d.(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项.规律方法 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量.跟踪演练3 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
(1)a3＝5，a7＝13；解 设首项为a1，公差为d，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)前三项为a,2a－1,3－a.解 由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝ ，123451.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A.2 B.3 C.－2 D.－3解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.C2.△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
解析 因为A、B、C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.12345B123453.在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则a10等于( )
A.12 B.14 C.16 D.18
解析 因a3－a1＝2d＝4，
所以d＝2，
则有a10＝a1＋(10－1)d＝18.D123454.下列数列是等差数列的有________.
(1)9, 7, 5, 3, …，－2n＋11, …；
(2)－1, 11, 23, 35, …， 12n－13, …；
(3)1, 2, 1, 2, …；
(4)1, 2, 4, 6, 8, 10, …；
(5)a，a，a，a，…，a….12345解析 由等差数列的定义，得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列.
答案 (1)(2)(5)512345.等差数列{an}中，已知a1＝ ，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值.解 ∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，课堂小结
1.判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？
答 从第二届起，每一届的年份与它前一届年份的差等于同一个常数4.这个数列叫等差数列.[预习导引]
1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这样的数列称为 数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母d表示.等差公差2.等差中项的概念
若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的 ，并且A＝ .
3.等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项
an＝ .等差中项a1＋(n－1)d4.等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为 数列；若公差d<0，则数列{an}为 数列.
5.等差数列与一次函数的关系
已知数列{an}中，an＝pn＋q，其中p，q是常数，且p不为0，那么数列{an}是首项a1＝p＋q，公差d＝p的等差数列.递增递减要点一 等差数列的概念
例1 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列.解 因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*).
所以数列{an}为等差数列.规律方法 判断一个数列是不是等差数列，就是判断
an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数.跟踪演练1 数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列解析 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列.A要点二 等差中项及其应用例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列.解 ∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项.∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列.求p，q的值.解 由x1＝3，得2p＋q＝3， ①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1， ②
将②代入①，得p＝1.故p＝1，q＝1.规律方法 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝ ，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.跟踪演练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.解 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为要点三 等差数列的通项公式及应用例3 (1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解 设{an}的公差为d.(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项.规律方法 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量.跟踪演练3 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
(1)a3＝5，a7＝13；解 设首项为a1，公差为d，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)前三项为a,2a－1,3－a.解 由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝ ，123451.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A.2 B.3 C.－2 D.－3解析 由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.C2.△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
解析 因为A、B、C成等差数列，
所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，
又因A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°.12345B123453.在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则a10等于( )
A.12 B.14 C.16 D.18
解析 因a3－a1＝2d＝4，
所以d＝2，
则有a10＝a1＋(10－1)d＝18.D123454.下列数列是等差数列的有________.
(1)9, 7, 5, 3, …，－2n＋11, …；
(2)－1, 11, 23, 35, …， 12n－13, …；
(3)1, 2, 1, 2, …；
(4)1, 2, 4, 6, 8, 10, …；
(5)a，a，a，a，…，a….12345解析 由等差数列的定义，得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列.
答案 (1)(2)(5)512345.等差数列{an}中，已知a1＝ ，a2＋a5＝4，an＝33，求n的值.解 ∵a2＋a5＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＝2a1＋5d＝4，课堂小结
1.判断一个数列是否是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.