9.2 等差数列(2):46张PPT
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课件46张PPT。第9章——数 列9.2 等差数列(二)[学习目标]
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？[预习导引]
1.等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n一次的函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.2.等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d, am, an(m≠n)，
从而有an＝am＋ .
(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 ＝ap＋aq.(n－m)dam＋an3.等差数列的性质
(1)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有(3){an}的公差为d，则d>0?{an}为 数列；
d<0?{an}为 数列；d＝0?{an}为常数列.递增递减要点一 等差数列性质的应用例1 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.解 方法一 根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝ .方法二 根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
解 {an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，
又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.规律方法
解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪演练1 在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；解析 a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.15解析 由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝
－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝
54?a1＋a20＝18.答案 18(2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20＝________.要点二 等差数列的设法与求解例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数.解 方法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
方法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算.一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量.跟踪演练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
解 方法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.要点三 由递推关系式构造等差数列求通项(1)求证：数列{bn}为等差数列；∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由.解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项.规律方法 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力.跟踪演练3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；证明 (an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，
故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式.解 由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，
所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.要点四 等差数列的实际应用例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；
从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，
则cn＝anbn.所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.
所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；解 c6＝a6b6＝2×10＝20所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.(3)哪一年的规模最大？请说明理由.解 ∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)
＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6).所以第2年的规模最大.规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征.这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华.跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)
＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A.5 B.6
C.8 D.10
解析 ∵a1＋a9＝2a5＝10，
∴a5＝5.1234 A2.在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A.35 B.－35
C.23 D.－23
解析 由a8－a4＝4d＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.1234A12343.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( )
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列1234解析 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋
(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.
答案 C4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，则这三个数依次为______.1234解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得由①得a＝6，代入②得d＝±2.
∵该数列是递增数列，
∴d>0，即d＝2.
∴这三个数依次为4,6,8.1234答案 4,6,8课堂小结
1.在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝ 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.3.等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
4.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量.
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.
2.能运用等差数列的性质解决有关问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
在等差数列{an}中，若已知首项a1和公差d的值，由通项公式an＝a1＋(n－1)d可求出任意一项的值，如果已知am和公差d的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？[预习导引]
1.等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n一次的函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.2.等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d, am, an(m≠n)，
从而有an＝am＋ .
(2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 ＝ap＋aq.(n－m)dam＋an3.等差数列的性质
(1)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有(3){an}的公差为d，则d>0?{an}为 数列；
d<0?{an}为 数列；d＝0?{an}为常数列.递增递减要点一 等差数列性质的应用例1 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.解 方法一 根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝ .方法二 根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
解 {an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，
又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.规律方法
解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪演练1 在等差数列{an}中：
(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；解析 a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.15解析 由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝
－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝
54?a1＋a20＝18.答案 18(2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列a1＋a20＝________.要点二 等差数列的设法与求解例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数.解 方法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
方法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算.一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量.跟踪演练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
解 方法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，
故所求的四个数为－2,0,2,4.要点三 由递推关系式构造等差数列求通项(1)求证：数列{bn}为等差数列；∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由.解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项.规律方法 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力.跟踪演练3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；证明 (an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，
故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式.解 由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，
故an＝2n＋n－1，
所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.要点四 等差数列的实际应用例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请你根据提供的信息说明，求：
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；
从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，
则cn＝anbn.所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.
所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；解 c6＝a6b6＝2×10＝20
∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)
＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6).所以第2年的规模最大.规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征.这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华.跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)
＝－20n＋220.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220<0，解得n>11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A.5 B.6
C.8 D.10
解析 ∵a1＋a9＝2a5＝10，
∴a5＝5.1234 A2.在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于( )
A.35 B.－35
C.23 D.－23
解析 由a8－a4＝4d＝12，得d＝3，
所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.1234A12343.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( )
A.新数列不是等差数列
B.新数列是公差为d的等差数列
C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列1234解析 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋
(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.
答案 C4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，则这三个数依次为______.1234解析 设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得由①得a＝6，代入②得d＝±2.
∵该数列是递增数列，
∴d>0，即d＝2.
∴这三个数依次为4,6,8.1234答案 4,6,8课堂小结
1.在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝ 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2.等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.3.等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
4.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体代换，以减少计算量.