9.2 等差数列(3)：41张PPT
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课件41张PPT。第9章——数 列9.2 等差数列(三)[学习目标]
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.了解公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.设梯形的上底、下底、高分别为a，b，h，把两个相同的
梯形拼成平行四边形，则梯形的面积为________.2.二次函数y＝2x2－4x－3，当x＝________时，有最________值为________.1小－53.把二次函数y＝－2x2＋4x＋3化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是__________________，当x＝___时，y有最大值____.解析 y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x)＋3
＝－2(x－1)2＋5.
∴x＝1时，y有最大值5.y＝－2(x－1)2＋5 15[预习导引]
1.数列前n项和的概念
把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记作 .
a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝ (n≥2).SnSn－12.等差数列前n项和公式
(1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以3.等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an} 是公差为d的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 .(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为 .
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前nm2d要点一 与等差数列Sn有关的基本量的计算例1 在等差数列{an}中.解得n＝15.(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.规律方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.跟踪演练1 等差数列{an}中，前m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为33，且a1－am＝18，求这个数列的通项公式.解 设公差等于d，由题意可得偶数项共有 项.a1－am＝－(m－1)d＝18，
解得m＝7，d＝－3，a1＝20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝20－3n＋3＝－3n＋23.要点二 等差数列前n项和公式在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元的后一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元).规律方法 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪演练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？解 设n分钟后第1次相遇，依题意，整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去).
第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 设n分钟后第2次相遇，依题意，整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去).
第2次相遇是在开始运动后15分钟.要点三 等差数列前n项和性质的应用例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项和S3m.解 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.
∴30,70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.＝3×(100－30)＝210.(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，规律方法 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.跟踪演练3 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn.解 设等差数列{an}的公差为d，123451.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A.12 B.24 C.36 D.48B2.记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A.2 B.3 C.6 D.712345方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，
所以20－4＝4＋4d，
解得d＝3.12345答案 B123453.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，12345故选C.答案 C12345可得a1＝2d且d≠0，55.已知等差数列{an}中，整理得n2－7n－60＝0，
解之得n＝12或n＝－5(舍去)，123451234(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解之得d＝－171.课堂小结
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap的应用.
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.了解公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.设梯形的上底、下底、高分别为a，b，h，把两个相同的
梯形拼成平行四边形，则梯形的面积为________.2.二次函数y＝2x2－4x－3，当x＝________时，有最________值为________.1小－53.把二次函数y＝－2x2＋4x＋3化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是__________________，当x＝___时，y有最大值____.解析 y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x)＋3
＝－2(x－1)2＋5.
∴x＝1时，y有最大值5.y＝－2(x－1)2＋5 15[预习导引]
1.数列前n项和的概念
把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记作 .
a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝ (n≥2).SnSn－12.等差数列前n项和公式
(1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以3.等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an} 是公差为d的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 .(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为 .
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前nm2d要点一 与等差数列Sn有关的基本量的计算例1 在等差数列{an}中.解得n＝15.(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.规律方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.跟踪演练1 等差数列{an}中，前m项的和为77(m为奇数)，其中偶数项的和为33，且a1－am＝18，求这个数列的通项公式.解 设公差等于d，由题意可得偶数项共有 项.a1－am＝－(m－1)d＝18，
解得m＝7，d＝－3，a1＝20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝20－3n＋3＝－3n＋23.要点二 等差数列前n项和公式在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元的后一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则
a1＝50＋1 000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元).规律方法 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪演练2 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？解 设n分钟后第1次相遇，依题意，整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去).
第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 设n分钟后第2次相遇，依题意，整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去).
第2次相遇是在开始运动后15分钟.要点三 等差数列前n项和性质的应用例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项和S3m.解 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.
∴30,70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.＝3×(100－30)＝210.(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，规律方法 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.跟踪演练3 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn.解 设等差数列{an}的公差为d，123451.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A.12 B.24 C.36 D.48B2.记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A.2 B.3 C.6 D.712345方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，
所以20－4＝4＋4d，
解得d＝3.12345答案 B123453.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，12345故选C.答案 C12345可得a1＝2d且d≠0，55.已知等差数列{an}中，整理得n2－7n－60＝0，
解之得n＝12或n＝－5(舍去)，123451234(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解之得d＝－171.课堂小结
1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap的应用.