9.2 等差数列(4):33张PPT

课件33张PPT。第9章——数 列9.2　等差数列(四)[学习目标]
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.
2.掌握等差数列前n项和的最值问题.
3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？[预习导引]
1.数列中an与Sn的关系
对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为Sn－Sn－1S12.由数列的Sn判断数列的类型An2＋Bn所以Sn是关于n的常数项为0的 的函数，反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的 的函数，那么这个数列也是 数列.二次二次等差3.等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有 值，
使Sn取到最值的n最大当a1<0，d>0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组最小则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有 值；当d<0时，Sn有 值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.最小最大要点一　利用Sn与an的关系求an例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋ n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1)，
可知，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2也满足①式.规律方法　
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.若不符合，则用分段函数表示.跟踪演练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.解　当n＝1时，a1＝S1＝3；
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.要点二　等差数列前n项和的最值即a8＝0，a9<0.所以前n项和从第9项开始减小，而第8项为0，
所以前7项和或前8项和最大.规律方法　在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn为关于n的二次的函数，也可借助二次函数的图象或性质求解.跟踪演练2　已知数列{an}的通项公式是an＝－n2＋12n－32，其前n项和是Sn，则对任意的n>m(其中n、m∈N*)，Sn－Sm的最大值是________.解析　由an＝－n2＋12n－32＝0，得n＝4或n＝8，
即a4＝a8＝0，
又函数f(n)＝－n2＋12n－32的图象开口向下，
所以数列前3项为负，
当n>8时，数列中的项均为负数，在m∵n＝1也适合上式，
∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*).即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.(1)当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an(2)当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn规律方法　等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.跟踪演练3　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an当n≥5时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)
A.n B.n2 C.2n＋1 D.2n－1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又因a1＝1适合an＝2n－1，
所以，an＝2n－1.1234　D2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A.－2 B.－1 C.0 D.1
解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.1234B12343.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值.解析　∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.∵a1>0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大.5或64.在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.1234解　方法一　∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
∴a1∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值.
易求S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.方法二　∵an＝2n－14，∴a1＝－12.1234∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42.课堂小结
1.因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2才有意义.所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.