9.3 等比数列(1):40张PPT
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课件40张PPT。第9章——数 列9.3 等比数列(一)[学习目标]
1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
下列判断正确的是________.
(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列
(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列
(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零
(4)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)(1)(3)(4)[预习导引]
1.等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作 数列.这个常数叫作等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0).等比公比2.等比中项的概念
如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 .等比中项3.等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，该等比数列的通项公式为 .an＝a1qn－1要点一 等比数列通项公式的基本量的求解例1 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；即26－n＝20，所以n＝6.
方法二 因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝ .
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.跟踪演练1 (1)若等比数列{an}的首项a1＝ ，末项an＝ ，
公比q＝ ，求项数n.(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.当q＝2时，a1＝1.要点二 等比中项的应用例2 等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则 等于多少？解 由题意知a3是a1和a9的等比中项，规律方法 由等比中项的定义
可知： .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则 ，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列?G2＝ab(ab≠0).要点三 等比数列的判定例3 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
证明由a2＝－4，a3＝－15，可知an≠n.又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列.(2)求an.解 由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列.跟踪演练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式.证明 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an≠1，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.要点四 由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；证明 ∵an＋Sn＝n， ①
∴an≠1，且an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.(2)求数列{bn}的通项公式.∴当n≥2时，bn＝an－an－1规律方法 (1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解.
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝ ，这样就构造了等比数列{an＋λ}.123451.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a2等于( )
A.16 B.16或－16
C.32 D.32或－32
解析 由a4＝a1q3，得q3＝8，
即q＝2，所以a2＝a1q＝16.A2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )
A.4 B.8
C.6 D.32
解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.12345C123453.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A.64 B.81 C.128 D.243A123454.45和80的等比中项为_________.
解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，
∴G＝±60.－60或60512345.在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，
所以q＝2.2课堂小结
1.等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零.(2) 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒.(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.
2.等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.
3.等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列.
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.
1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
下列判断正确的是________.
(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列
(2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列
(3)等差数列的公差d可正可负，且可以为零
(4)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)(1)(3)(4)[预习导引]
1.等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作 数列.这个常数叫作等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0).等比公比2.等比中项的概念
如果a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 .等比中项3.等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，该等比数列的通项公式为 .an＝a1qn－1要点一 等比数列通项公式的基本量的求解例1 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；即26－n＝20，所以n＝6.
方法二 因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝ .
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.跟踪演练1 (1)若等比数列{an}的首项a1＝ ，末项an＝ ，
公比q＝ ，求项数n.(2)在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.当q＝2时，a1＝1.要点二 等比中项的应用例2 等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则 等于多少？解 由题意知a3是a1和a9的等比中项，规律方法 由等比中项的定义
可知： .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数.反之，若G2＝ab，则 ，即a，G，b成等比数列.所以a，G，b成等比数列?G2＝ab(ab≠0).要点三 等比数列的判定例3 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
证明由a2＝－4，a3＝－15，可知an≠n.又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列.(2)求an.解 由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.规律方法 判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列.跟踪演练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式.证明 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an≠1，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.要点四 由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；证明 ∵an＋Sn＝n， ①
∴an≠1，且an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.(2)求数列{bn}的通项公式.∴当n≥2时，bn＝an－an－1规律方法 (1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解.
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)可得λ＝ ，这样就构造了等比数列{an＋λ}.123451.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a2等于( )
A.16 B.16或－16
C.32 D.32或－32
解析 由a4＝a1q3，得q3＝8，
即q＝2，所以a2＝a1q＝16.A2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )
A.4 B.8
C.6 D.32
解析 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.12345C123453.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A.64 B.81 C.128 D.243A123454.45和80的等比中项为_________.
解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，
∴G＝±60.－60或60512345.在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，
所以q＝2.2课堂小结
1.等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零.(2) 均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒.(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.
2.等比中项的理解
(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.
3.等比数列的通项公式
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列.
(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.