9.3 等比数列(2):42张PPT
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课件42张PPT。第9章——数 列9.3 等比数列(二)[学习目标]
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断是否成等比数列的方法.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
在等差数列{an}中，通项公式可推广为am＝an＋(m－n)d，并且若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？[预习导引]
1.等比数列的第二通项公式
等比数列的通项公式为：an＝ ，
推广形式为：an＝ (n，m∈N*).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 ，a1qn－1am·qn－mam·an＝ak·al(2)如果m＋n＝2k时，am·an＝ .(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列.
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为 数列.等比(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列 ，{an·bn}， ，{|an|}仍是等比数列，且公
比分别为 ，q1q2， ，|q1|.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝ ＝ ＝….a2·an－1ak·an－k＋1要点一 等比数列性质的应用例1 已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；∴(a3＋a5)2＝36，又an>0，∴a3＋a5＝6.(2)若前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.解 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2).若G是a5，a7的等比中项，∴a5，a7的等比中项是±3.规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.跟踪演练1 在等比数列{an}中，a6·a15＋a9·a12＝30，则前20项的积等于________.解析 ∵数列{an}成等比数列，
∴a6·a15＝a9·a12＝15，
∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10＝1510.1510要点二 灵活设项求解等比数列例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为 ，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.跟踪演练2 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则新的三个数成等差数列，求这三个数.∴这三个数为4,8,16或16,8,4.要点三 等比数列的实际应用例3 某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，
解得n≤－19或n≥10，而n是正整数.
∴n≥10.故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解 设新建住房面积构成数列{bn}，
由题意可知，{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，
由题意可知an>0.85bn，
即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正整数n＝6.
故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.规律方法 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算.不要在运算中出现问题.跟踪演练3 始于2007年初的美国金融危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机.受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元.你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?
解 设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)，则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)；
9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.
∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.
∴an＝147·(1－18.8%)n－1，
又∵a7>34，a8<34，
所以从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶.要点四 等差数列与等比数列的综合应用例4 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足
bn＝ (m∈N*).
(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；符合上式.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.∴b1，b2，b8成等比数列，解之得：m＝9或m＝0(舍去).故m＝9.(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，
则2b4＝b1＋bt，由于m、t∈N*且t≥5.
令m－5＝36,18,12,9,6,4,3,2,1，
即m＝41,23,17,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数.
∴存在符合题意的m值，且共有9个数.规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的应用往往是解题的关键.跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.
(1)求通项an及Sn；解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，
所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
即an＝－2n＋21；即Sn＝－n2＋20n.(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式.
解 因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以bn－an＝3n－1，
即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A.2 B.3 C.4 D. 8
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，
所以q＝2.1234 A2.在等比数列{an }中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2 ＋log3a9等于( )
A.9 B.6 C.3 D.2
解析 因为a2a9＝a1a10＝27，log3a2＋log3a9＝log327＝3.1234C12343.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.812344.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？
解 不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴数列{an}不是等比数列.课堂小结
1.判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
(1)定义法；(2)等比中项法； (3)通项公式法.
2.等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，等比数列{an}是递减数列.
(3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列.
(4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列.3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断是否成等比数列的方法.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
在等差数列{an}中，通项公式可推广为am＝an＋(m－n)d，并且若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？[预习导引]
1.等比数列的第二通项公式
等比数列的通项公式为：an＝ ，
推广形式为：an＝ (n，m∈N*).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 ，a1qn－1am·qn－mam·an＝ak·al(2)如果m＋n＝2k时，am·an＝ .(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列.
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为 数列.等比(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列 ，{an·bn}， ，{|an|}仍是等比数列，且公
比分别为 ，q1q2， ，|q1|.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝ ＝ ＝….a2·an－1ak·an－k＋1要点一 等比数列性质的应用例1 已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；∴(a3＋a5)2＝36，又an>0，∴a3＋a5＝6.(2)若前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.解 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2).若G是a5，a7的等比中项，∴a5，a7的等比中项是±3.规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.跟踪演练1 在等比数列{an}中，a6·a15＋a9·a12＝30，则前20项的积等于________.解析 ∵数列{an}成等比数列，
∴a6·a15＝a9·a12＝15，
∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10＝1510.1510要点二 灵活设项求解等比数列例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.规律方法 合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为 ，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.跟踪演练2 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则新的三个数成等差数列，求这三个数.∴这三个数为4,8,16或16,8,4.要点三 等比数列的实际应用例3 某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，
解得n≤－19或n≥10，而n是正整数.
∴n≥10.故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解 设新建住房面积构成数列{bn}，
由题意可知，{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，
由题意可知an>0.85bn，
即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正整数n＝6.
故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.规律方法 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算.不要在运算中出现问题.跟踪演练3 始于2007年初的美国金融危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机.受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元.你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?
解 设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)，则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)；
9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.
∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.
∴an＝147·(1－18.8%)n－1，
又∵a7>34，a8<34，
所以从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶.要点四 等差数列与等比数列的综合应用例4 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足
bn＝ (m∈N*).
(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；符合上式.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.∴b1，b2，b8成等比数列，解之得：m＝9或m＝0(舍去).故m＝9.(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，
则2b4＝b1＋bt，由于m、t∈N*且t≥5.
令m－5＝36,18,12,9,6,4,3,2,1，
即m＝41,23,17,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数.
∴存在符合题意的m值，且共有9个数.规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的应用往往是解题的关键.跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.
(1)求通项an及Sn；解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，
所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
即an＝－2n＋21；即Sn＝－n2＋20n.(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式.
解 因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以bn－an＝3n－1，
即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A.2 B.3 C.4 D. 8
解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，
所以q＝2.1234 A2.在等比数列{an }中，an>0，且a1·a10＝27，log3a2 ＋log3a9等于( )
A.9 B.6 C.3 D.2
解析 因为a2a9＝a1a10＝27，log3a2＋log3a9＝log327＝3.1234C12343.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________.
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.812344.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是否是等比数列？
解 不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴数列{an}不是等比数列.课堂小结
1.判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：
(1)定义法；(2)等比中项法； (3)通项公式法.
2.等比数列的单调性
(1)当q>1，a1>0或0
(3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列.
(4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列.3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.