9.3 等比数列(3):36张PPT
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课件36张PPT。第9章——数 列9.3 等比数列(三)[学习目标]
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，当q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？答 由Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.用a1和q表示出Sn吗？[预习导引]
1.等比数列前n项和公式
(1)在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n项和Sn＝ .
(2)在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和na12.等比数列前n项和公式的变式
若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和3.错位相减法
推导等比数列前n项和的方法叫 法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.错位相减要点一 等比数列前n项和公式的基本运算例1 在等比数列{an}中，
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；解 方法一 设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，＝1×(1＋24)＝17.∴a1＝8.规律方法 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量；这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.跟踪演练1 已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝64.
(1)求数列{an}的通项an；解 设等比数列{an}的公比为q，解得a1＝1，q＝±2.
当q＝2时，an＝1×2n－1＝2n－1，
当q＝－2时，an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1.(2)求数列{an}的前n项和Sn.要点二 错位相减法求和例2 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0).
解 分x＝1和x≠1两种情况.当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1规律方法 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.跟踪演练2 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和.
解 (1)当a＝0时，Sn＝1.(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，(3)当a≠1且a≠0时，
有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1 ①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an ②①－②得Sn－aSn
＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)综上，要点三 等比数列前n项和公式的应用例3 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项；解得a2＝2.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解 由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，规律方法 (1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.
(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解.跟踪演练3 已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知的等比中项.(1)求S2和S3；(2)求此数列{an}的前n项和Sn；(3)求数列{Sn}的前n项和.解 由(2)得S1＋S2＋…＋Sn1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn为( )12341234答案 C2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则 等于 ( )1234C12343.若一个等比数列的前4项的和为 ，公比为 ，则其首项为________.所以a1＝1.112344.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为 ，则S5＝________.1234答案 31课堂小结
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法.
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列{an}，当q≠1，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？答 由Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.用a1和q表示出Sn吗？[预习导引]
1.等比数列前n项和公式
(1)在等比数列{an}中，若公比q＝1，则其前n项和Sn＝ .
(2)在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和na12.等比数列前n项和公式的变式
若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和3.错位相减法
推导等比数列前n项和的方法叫 法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.错位相减要点一 等比数列前n项和公式的基本运算例1 在等比数列{an}中，
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；解 方法一 设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，＝1×(1＋24)＝17.∴a1＝8.规律方法 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量；这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.跟踪演练1 已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝64.
(1)求数列{an}的通项an；解 设等比数列{an}的公比为q，解得a1＝1，q＝±2.
当q＝2时，an＝1×2n－1＝2n－1，
当q＝－2时，an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1.(2)求数列{an}的前n项和Sn.要点二 错位相减法求和例2 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0).
解 分x＝1和x≠1两种情况.当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1规律方法 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.跟踪演练2 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和.
解 (1)当a＝0时，Sn＝1.(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，(3)当a≠1且a≠0时，
有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1 ①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an ②①－②得Sn－aSn
＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)综上，要点三 等比数列前n项和公式的应用例3 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项；解得a2＝2.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解 由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，规律方法 (1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.
(2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解.跟踪演练3 已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知的等比中项.(1)求S2和S3；(2)求此数列{an}的前n项和Sn；(3)求数列{Sn}的前n项和.解 由(2)得S1＋S2＋…＋Sn1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn为( )12341234答案 C2.设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则 等于 ( )1234C12343.若一个等比数列的前4项的和为 ，公比为 ，则其首项为________.所以a1＝1.112344.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为 ，则S5＝________.1234答案 31课堂小结
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法.