9.3 等比数列(4):35张PPT

课件35张PPT。第9章——数 列9.3　等比数列(四)[学习目标]
1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
2.应用方程的思想方法解决等比数列前n项和的有关问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
上一节我们学习了等比数列的前n项和公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？1.等比数列的前n项和的变式
(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝ .na1设A＝ ，上式可写成Sn＝ .由此可见，非常
数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.－Aqn＋A当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1与n成正比.2.等比数列前n项和的性质
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成 数列.(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比).
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，等比q.要点一　等比数列前n项和Sn的函数特征例1　设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于(　　)答案　B规律方法　数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数.所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法.跟踪演练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，要点二　等比数列前n项和性质的应用例2　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，方法二　根据等比数列性质，
有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，规律方法　运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.跟踪演练2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，要点三　等差、等比数列前n项和的综合问题例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；解　由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，又a1＝2a1－2，∴a1＝2，∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n.
∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，
∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，
∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1.(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.解　∵Tn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n ①
∴2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1 ②
①－②得：
－Tn＝1·2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6
∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.规律方法　等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.跟踪演练3　在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.最大时，求n的值.解　bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，123451.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，则S30等于(　　)
A.70 B.90 C.100 D.120
解析　由于S10，S20－S10，S30－S20成等比数列.
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，又∵S10＝10，S20＝30，
∴可得S30＝70.A2.已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且a≠1的常数)，则数列{an}(　　)
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列，或者是等比数列
D.既非等差数列，也非等比数列12345解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.12345答案　B123453.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为(　　)
A.180 B.108 C.75 D.63
解析　由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48,12,3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.D123454.若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m等于(　　)
A.－1 B.1 C.－5 D.5
解析　a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝4·5n－1，
所以5＋m＝4，m＝－1.A512345.在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1
＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.－1课堂小结
1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列.
2.等比数列中用到的数学思想
(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；
②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,00且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列的前n项和则Sn＝－Aqn＋A也与指数函数相联系.(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn， 当成整体求解.