10.3 基本不等式及其应用(1):27张PPT

课件27张PPT。第10章——不等式[学习目标]
1.理解基本不等式的内容及证明.
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.10.3　基本不等式及其应用(一)1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
下列说法中，正确的有_______.
(1)a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2；
(2)(a±b)2≥0；
(3)a2＋b2≥(a＋b)2；
(4)(a＋b)2≥(a－b)2.
解析　当a，b同号时，有a2＋b2≤(a＋b)2，所以(3)错误；
当a，b异号时，有(a＋b)2≤(a－b)2，所以(4)错误.(1)(2)[预习导引]
1.两个重要定理
(1)定理1：对于任意实数a，b，有a2＋b2 2ab，(当且仅当 时等号成立).(3)定理1和定理2中的不等式通常称为 .基本不等式≥a＝ba＝b2.基本不等式的常用推论(4)a2＋b2＋c2 ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).－2≥≥2要点一　基本不等式的证明
例1　证明下列不等式，并指出“＝”成立的条件：
(1)a2＋b2≥2ab；
证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.只要证：a＋b≥_______②
要证②，只要证a＋b－_______≥0③
要证③，只要证(_____－_____)2≥0④
显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立.要点二　不等式的证明
例2　已知a，b，c都是实数.证明　∵a，b，c∈R，
∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，②在②式两边同时加上2(ab＋bc＋ca)得
(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，在①式两边同时加上(a2＋b2＋c2)得
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，规律方法　在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.跟踪演练2　已知x，y，z都是正数.(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明　∵x，y都是正数，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 当且仅当x＝y时，等号成立.(3)(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
证明　∵x，y，z都是正数，即(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.当且仅当x＝y＝z时等号成立.要点三　含条件的不等式的证明证明　∵a＋b＋c＝1，规律方法　使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立.跟踪演练3　已知a>0，b>0，a＋b＝1，证明　方法一　因为a>0，b>0，a＋b＝1，1.不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是(　　)
A.m＝1 B.m＝±1
C.m＝－1 D.m＝01234A12342.若0a>0，∴ab>a2，C12343.设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)解析　∵a＋b＝3，B12344.以下命题中正确的个数是________.②若a>0，b>0且a＋b＝2，则ab≤1；④a∈R.a2＋1>2a.1234解析　①式在x>0的条件下才成立，故错；④a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故错.
答案　2课堂小结2.由基本不等式变形得到的常见的结论