8.1 正弦定理(2):38张PPT
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课件38张PPT。第8章——解三角形8.1 正弦定理(二)[学习目标]
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.
2.能根据条件，判断三角形解的个数.
3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功??答案 (2)?a∶b∶c 2R2Rsin A2Rsin B2Rsin C???2.三角变换公式
(1)sin (α＋β)＝ ；
(2)sin (α－β)＝ ；
(3)sin 2α＝ .sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β2sin αcos α要点一 利用正弦定理判断三角形的形状
例1 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴A＝90°，∴B＋C＝90°.
由sin A＝2sin Bcos C，得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，?∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C.
∴△ABC是等腰直角三角形.规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.跟踪演练1 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状.??规律方法 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：
(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量.
(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题.?要点三 正弦定理与三角变换的综合
例3 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状.
解 ∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，
∴2(2cos2 B－1)－8cos B＋5＝0.
∴4cos2 B－8cos B＋3＝0，
即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.∴△ABC是等边三角形.规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.跟踪演练3 已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.
解 设方程的两根为x1、x2，∴bcos A＝acos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0.
∵A、B为△ABC的内角，
∴0∴A－B＝0，即A＝B.
故△ABC为等腰三角形.1.在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( )
A.A>B B.AC.A≥B D.A，B的大小关系不能确定
解析 由sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)?a>b?A>B.12345A12345?A12345?12345∴A＝45°.∴C＝75°.答案 C?12345∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
答案 B1234512345?12345所以本题有两解，由正弦定理得：故B＝60°或120°.12345?课堂小结
1.已知a，b和A，用正弦定理解三角形的各种情况：
(1)列表如下：?2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.
2.能根据条件，判断三角形解的个数.
3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功??答案 (2)?a∶b∶c 2R2Rsin A2Rsin B2Rsin C???2.三角变换公式
(1)sin (α＋β)＝ ；
(2)sin (α－β)＝ ；
(3)sin 2α＝ .sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β2sin αcos α要点一 利用正弦定理判断三角形的形状
例1 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴A＝90°，∴B＋C＝90°.
由sin A＝2sin Bcos C，得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，?∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C.
∴△ABC是等腰直角三角形.规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.跟踪演练1 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状.??规律方法 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：
(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量.
(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题.?要点三 正弦定理与三角变换的综合
例3 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状.
解 ∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，
∴2(2cos2 B－1)－8cos B＋5＝0.
∴4cos2 B－8cos B＋3＝0，
即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.∴△ABC是等边三角形.规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.跟踪演练3 已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.
解 设方程的两根为x1、x2，∴bcos A＝acos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0.
∵A、B为△ABC的内角，
∴0
故△ABC为等腰三角形.1.在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( )
A.A>B B.A
解析 由sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)?a>b?A>B.12345A12345?A12345?12345∴A＝45°.∴C＝75°.答案 C?12345∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
答案 B1234512345?12345所以本题有两解，由正弦定理得：故B＝60°或120°.12345?课堂小结
1.已知a，b和A，用正弦定理解三角形的各种情况：
(1)列表如下：?2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.