8.2 余弦定理(1):36张PPT
图片预览
文档简介
课件36张PPT。第8章——解三角形8.2 余弦定理(一)[学习目标]
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.以下问题可以使用正弦定理求解的是 .
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
(2)已知两角和一边，求其他角和边.
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.
(4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.(1)(2)2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解 a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A－0)2
＝b2(sin 2A＋cos 2A)－2bccos A＋c2
＝b2＋c2－2bccos A.
得出a2＝b2＋c2－2bccos A.[预习导引]
1.余弦定理
三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 的余弦的积的 .
即a2＝ ，b2＝ ，
c2＝ .平方平方夹角两倍b2＋c2－2bccos Ac2＋a2－2cacos Ba2＋b2－2abcos C2.余弦定理的推论
cos A＝ ； cos B＝ ；cos C＝ .????∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，由于b＝3，所以A＝B＝30°，∴C＝120°.
∴A＝90°，∴C＝60°.由b∴C＝60°或120°，
当C＝60°时，A＝90°，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形.
∴a＝3.解 由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accos B.∵0°(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.跟踪演练1 在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
解 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴c＝4，即第三边长为4.?∴A＝60°.∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°.?规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.跟踪演练2 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长.即所求AC边上的中线长为7.?即a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.方法二 在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin Ccos A，∴sin Acos C＝0.∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.∴cos C＝0，∴△ABC是直角三角形.规律方法 (1)判断三角形形状的常用手段有两种：一是用余弦定理将已知条件转化为边之间的关系式，二是借助于正弦定理，将已知条件转化为角的三角函数关系式.
(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.跟踪演练3 在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状.整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，??1234A1234?B1234解析 ∵a>b>c，∴C为最小角，B1234?课堂小结
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.
(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.
2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，则利用三角恒等变形化简；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简.
3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.以下问题可以使用正弦定理求解的是 .
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
(2)已知两角和一边，求其他角和边.
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.
(4) 已知一个三角形的三条边，解三角形.(1)(2)2.如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A).利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解 a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A－0)2
＝b2(sin 2A＋cos 2A)－2bccos A＋c2
＝b2＋c2－2bccos A.
得出a2＝b2＋c2－2bccos A.[预习导引]
1.余弦定理
三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 的余弦的积的 .
即a2＝ ，b2＝ ，
c2＝ .平方平方夹角两倍b2＋c2－2bccos Ac2＋a2－2cacos Ba2＋b2－2abcos C2.余弦定理的推论
cos A＝ ； cos B＝ ；cos C＝ .????∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，由于b＝3，所以A＝B＝30°，∴C＝120°.
∴A＝90°，∴C＝60°.由b
当C＝60°时，A＝90°，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形.
∴a＝3.解 由余弦定理知
b2＝a2＋c2－2accos B.∵0°
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.跟踪演练1 在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
解 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴c＝4，即第三边长为4.?∴A＝60°.∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°.?规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.跟踪演练2 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长.即所求AC边上的中线长为7.?即a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.方法二 在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin Ccos A，∴sin Acos C＝0.∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.∴cos C＝0，∴△ABC是直角三角形.规律方法 (1)判断三角形形状的常用手段有两种：一是用余弦定理将已知条件转化为边之间的关系式，二是借助于正弦定理，将已知条件转化为角的三角函数关系式.
(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.跟踪演练3 在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状.整理得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，??1234A1234?B1234解析 ∵a>b>c，∴C为最小角，B1234?课堂小结
1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.
(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.
2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，则利用三角恒等变形化简；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简.
3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角.
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.