8.2 余弦定理(2):38张PPT

课件38张PPT。第8章——解三角形8.2　余弦定理(二)[学习目标]
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.
2.会用余弦定理解三角形.
3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.以下问题不能用余弦定理求解的是 .
(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
(2)已知两角和一边，求其他角和边.
(3)已知一个三角形的二条边及其夹角，求其他的边和角.
(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.(2)2.利用余弦定理判断三角形的形状正确的是 .
(1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形.
(2)在△ABC中，若a2 (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形.(1)(3)?2R2Rsin A2Rsin B2Rsin C2.余弦定理及其推论
(1)a2＝ ，b2＝ ，
c2＝ .
(2)cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为 ；
c2>a2＋b2?C为 ；
c2(1)cos (α＋β)＝ ；
(2)cos (α－β)＝ ；
(3)cos 2α＝ ＝ ＝ .cos αcos β－sin αsin βcos αcos β＋sin αsin βcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α要点一　正弦、余弦定理的综合应用
例1　如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.解　在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠BDA，
∴142＝102＋x2－2×10xcos 60°，
即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，
∴BD＝16.
∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.规律方法　余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.跟踪演练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，求b.
解　方法一　在△ABC中，∵sin Acos C＝3cos Asin C，
则由正弦定理及余弦定理有化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0(舍).
方法二　由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A.
又a2－c2＝2b，b≠0.所以b＝2ccos A＋2.①
又sin Acos C＝3cos Asin C，
∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C，
sin (A＋C)＝4cos Asin C，即sin B＝4cos Asin C，?要点二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式
例2　在△ABC中，有(1)a＝bcos C＋ccos B；
(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A；
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.
证明　方法一　(1)由正弦定理得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B
＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝2Rsin(B＋C)
＝2Rsin A＝a.
即a＝bcos C＋ccos B.同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.方法二　(1)由余弦定理得∴a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.规律方法　(1)证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左?右；右?左；左?中?右三种.
(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.跟踪演练2　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，∴等式成立.∴等式成立.要点三　利用正弦、余弦定理判断三角形形状
例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状.
解　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得
b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形.规律方法　题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断.跟踪演练3　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状.
解　方法一　根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即b＝a.∴△ABC是正三角形.方法二　根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为
2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin (120°－A)，
整理得sin (A＋30°)＝1，∵0°1.已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.