高中数学人教A版选修 4-1课件：1.3.2 相似三角形的性质 :31张PPT

课件31张PPT。2.相似三角形的性质121.相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(2)相似三角形周长的比等于相似比.
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.12做一做1　已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线,且AD∶A'D'=5∶3,下面给出四个结论:①BC∶B'C'=5∶3;②△ABC的周长∶△A'B'C'的周长=5∶3;③△ABC与△A'B'C'的对应高之比为5∶3;④△ABC与△A'B'C'的对应中线之比为5∶3.?
其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析因为AD,A'D'是相似三角形△ABC和△A'B'C'对应的角平分线,且AD∶A'D'=5∶3,所以△ABC和△A'B'C'的相似比为5∶3.故对应边BC与B'C'的比为5∶3,结论①正确;由相似三角形的性质定理知②③④也正确,故选D.
答案D122.相似三角形的外接圆的性质
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.1212思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)两个相似三角形的面积之比等于其周长之比的平方. (　　)
(2)相似三角形对应角的外角平分线与对边相交所得线段的比等于相似比. (　　)
(3)相似三角形外接圆的周长之比等于相似比的平方. (　　)
(4)相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于相似比,内切圆的面积比等于相似比的平方. (　　)
答案(1)√　(2)√　(3)×　(4)√探究一探究二探究三思维辨析探究一利用相似三角形的性质解决计算问题?
【例1】 (1)如图,在?ABCD中,点E在AB上,且EB=2AE,AC与DE交于
点F,则(2)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,S△ADE∶S△ABC=4∶9,则AE∶EC=　　　　　.?探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练1　两个相似三角形的一对对应边长分别是24 cm和12 cm.?
(1)若它们的周长和是120 cm,则这两个三角形的周长分别为　　　　　和　　　　　;?
(2)若它们的面积差是420 cm2,则这两个三角形的面积分别为　　　　　和　　　　　.?探究一探究二探究三思维辨析解析由于两个三角形相似,且一对对应边长分别是24 cm和12 cm,因此其相似比为2.
(1)由于周长比等于相似比,若设其中一个三角形周长为x cm,则另一个三角形周长为2x cm,于是x+2x=120,解得x=40,故其中一个三角形的周长为80 cm,另一个三角形的周长为40 cm.
(2)由于面积比等于相似比的平方,若设其中一个三角形面积为x cm2,则另一个三角形面积为4x cm2,于是4x-x=420,解得x=140,故其中一个三角形的面积为140 cm2,另一个三角形的面积为560 cm2.
答案(1)80 cm　40 cm　(2)560 cm2　140 cm2探究一探究二探究三思维辨析探究二利用相似三角形的性质解决证明问题?
【例2】如图所示,AD是△ABC的角平分线,BH⊥AD于点H,CK⊥AD于点K.求证:AB·DK=AC·DH.分析只需证明△BDH和△CDK相似,△ABH和△ACK相似即可. 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练2　如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点E,BF∥CD交CA的延长线于点F.求证:EF·AD=EC·BC.? 探究一探究二探究三思维辨析探究三利用相似三角形的性质解决综合问题?
【例3】如图所示,在?ABCD中,E是CD延长线上一点,BE与AD交于点F,
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求?ABCD的面积.探究一探究二探究三思维辨析分析(1)利用相似三角形的判定定理证明;(2)要求平行四边形的面积,可以利用相似三角形的性质定理分别求出△ABF与四边形BCDF的面积.
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB.
∴△ABF∽△CEB.
(2)解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
∴S?ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练3　如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.?
(1)求证:EF∥BC;
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
(1)证明∵CF平分∠ACB,DC=AC,
∴CF是△ACD的边AD上的中线.
∴点F是AD的中点.
∵点E是AB的中点,∴EF∥BD,即EF∥BC.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析对相似三角形的性质理解不透而致误
典例如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=3,△AOD,△AOB,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,则S1∶S2,S1∶S3分别等于多少?探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练　如图所示,D,E,F,G,H,I是△ABC三边的三等分点,△ABC的周长是l,则六边形DEFGHI的周长是　　　　　.?123451.在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,且DE∥BC,若AE∶EC=1∶2,且AD=4 cm,则DB等于(　　)
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
解析因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以AE∶EC=AD∶DB,所以DB=2×4=8(cm).
答案D123452.若D,E,F分别是△ABC的三边中点,设△DEF的面积为4,△ABC的周长为9,则△DEF的周长与△ABC的面积分别是(　　)
A.4.5,16 B.9,4
解析依题意△DEF与△ABC相似,且相似比为1∶2,因此△DEF与△ABC的周长之比为1∶2,面积之比为1∶4,从而△DEF的周长为4.5,△ABC的面积为16.
答案A123453.若△ABC∽△A'B'C',它们的周长相差20 cm,且它们对应边上的中线比为2∶1,则△ABC与△A'B'C'的周长分别为　　　　　.?
解析因为△ABC∽△A'B'C',所以它们的周长比等于对应边上的中线比2∶1.设△A'B'C'的周长为x cm,则△ABC的周长为2x cm,于是有2x-x=20,解得x=20,故△ABC的周长为40 cm,△A'B'C'的周长为20 cm.
答案40 cm,20 cm123454.如图所示,已知∠C=90°,∠A=30°,点E是AB的中点,DE⊥AB于点E,则△ADE与△ABC的相似比是　　　　　.?123455.如图所示,在四边形ABCD中,AC为AB,AD的比例中项,且AC平分∠DAB.求证:(1)△ABC∽△ACD;(2)BC2∶CD2=AB∶AD.
证明(1)∵AC为AB,AD的比例中项,∴AB∶AC=AC∶AD.
∵AC平分∠DAB,∴∠1=∠2,∴△ABC∽△ACD.12345(2)由(1)得△ABC∽△ACD,
∴S△ABC∶S△ACD=BC2∶CD2=AC2∶AD2.
∵AC为AB,AD的比例中项,∴AC2=AB·AD,
∴BC2∶CD2=AC2∶AD2=(AB·AD)∶AD2=AB∶AD,故BC2∶CD2=AB∶AD.