[A 基础达标]
1.已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B．由排列的定义知①，④是排列问题.
2.计算＝( )
A．12 B．24
C．30 D．36
解析：选D．＝＝7×6－6＝36.
3.若α∈N*，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( )
A．A B．A
C．A D．A
解析：选D．从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A.
4.已知A－A＝10，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B．因为A－A＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，整理得2n＝10，即n＝5.
5.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )
A．9 B．10
C．18 D．20
解析：选C．lg a－lg b＝lg ，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有A＝20种，其中lg ＝lg ，lg ＝lg ，故共可得到18种结果.
6.＝________.
解析：原式＝＝＝2.
答案：2
7.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列.
解析：画出树形图如下：
可知共12个.
答案：12
8.若集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，则集合P中共有________个元素.
解析：因为x＝A，
所以有m∈N*且m≤4，
所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，
即集合P中有3个元素.
答案：3
9.判断下列问题是否是排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
(2)从2，3，5，7，9中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？
(3)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？
解：(1)是．选出的2人担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题.
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关.
(3)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a，b必有a＞b，即取出的两个数谁是a，谁是b是确定的.
10.甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？
解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙.
若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，
共5种.
同样甲第一次发球给丙，也有5种情况.
由分类加法计数原理，共有5＋5＝10种不同的传球方法.
[B 能力提升]
11.若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8 B．5
C．3 D．0
解析：选C．因为当n≥5时，A的个位数字是0，故S的个位数取决于前四个排列数．又A＋A＋A＋A＝33，故选C．
12.解下列方程或不等式.
(1)3A＝2A＋6A；
(2)A＞6A.
解：(1)由排列数公式，得：
由①，得3x2－17x＋10＝0，
解得x＝5或x＝，
结合②可知x＝5是所求方程的根.
(2)原不等式可化为
①式等价于(11－x)(10－x)＞6，
即x2－21x＋104＞0，即(x－8)(x－13)＞0，
所以x＜8或x＞13.
结合②得2＜x＜8，x∈N*，
所以所求不等式的解集为{3，4，5，6，7}.
13.(选做题)一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，所以A－A＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，
所以
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站.
课件41张PPT。第一章 计数原理第一章 计数原理一定的顺序完全相同排列顺序不同排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！1排列概念的理解排列的列举问题排列数的计算或证明按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
[A 基础达标]
1.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为( )
A．3 B．24
C．34 D．43
解析：选B．3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个，再全排列，故其选法种数为A＝24.
2.已知6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种
解析：选C．先排甲，有4种；剩余5人全排列有A＝120(种)，所以不同的演讲次序有4×120＝480(种)．故选C．
3.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
解析：选B．若第一棒选A，则有A种选派方法；若第一棒选B，则有2A种选派方法．由分类加法计数原理知，共有3A＝36(种)选派方法.
4.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．48种
解析：选C．把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A·A种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A·A·A＝24(种).
5.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
解析：选D．剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
6.将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为________.
解析：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有A＝720(种)，甲、乙、丙的排列有A＝6(种)，
因为甲、乙在丙的两侧，
所以可能为甲丙乙或乙丙甲，
所以不同的排法种数共有2×＝240(种).
答案：240
7.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法共有________种.
解析：甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲、乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法．将丙、丁插在3个空中有A种方法.
所以由分步乘法计数原理，共有AAA＝24(种)排法.
答案：24
8.分别求出符合下列要求的不同排法的种数.
(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
(3)6人排成一排，甲、乙不相邻.
解：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A＝720(种).
(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A种选法，然后其他5人排，有A种排法，故排法种数为AA＝480(种).
(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有AA＝480(种)排法.
9.用0，1，2，3，4五个数字：
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
解：(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个).
(2)先排万位，从1，2，3，4中任取一个有A种排法，其余四个位置四个数字共有A种，
故共有A·A＝96(个).
(3)考虑特殊位置个位和万位，先排个位，从1，3中选一个排入个位有A种排法，然后从剩余3个非0数中选一个排入万位，有A种排法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个).
[B 能力提升]
10.航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A．216种 B．288种
C．180种 D．144种
解析：选B．当B，C相邻，且与D不相邻时，有AAA＝144(种)方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有AA＝144(种)方法，故共有288种编排方法.
11.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
解析：选B．当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有4A种．故不同的排法共有A＋4A＝120＋4×24＝216(种).
12.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种.
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
(2)2个唱歌节目互不相邻；
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
解：(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法.
(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法.
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目排列，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2 880(种)排法.
13.(选做题)已知圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问：
(1)可以作多少个不同的圆？
(2)经过原点的圆有多少个？
(3)圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？
解：(1)可分两步完成：第一步，先选r，因为r＞0，则r有A种选法，第二步，再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有A种选法，所以由分步乘法计数原理可得有A·A＝448(个)不同的圆.
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点，a，b，r满足a2＋b2＝r2，
满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a，b的顺序，有A种情况，
所以符合题意的圆有2A＝4(个).
(3)圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10，则满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6.
当a，b取10，0时，r有7种情况，
当a，b取3，7；4，6时，r不可取0，有6种情况，
考虑a，b的顺序，有A种情况，
所以满足题意的圆共有AA＋2AA＝38(个).
课件32张PPT。第一章 计数原理第一章 计数原理无限制条件的排列问题元素“相邻”与“不相邻”问题元素“在”与“不在”问题按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
